1変数で係数が実数の代数方程式がある複素数を解に持つとき、その共軛複素数(共役複素数)も解に持ちます。
代数方程式とは、多項式を等号で結んだ形となる方程式です。
特に変数が1つの場合、
\begin{equation}
f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots +a_n x^n = 0
\end{equation}の形となります。
この方程式が複素数を解に持つとき、
\begin{equation}
f(z) = a_0 +a_1 z +a_2 z^2 +\cdots +a_n z^n = 0
\end{equation}が成り立っています。
係数が実数ということは、が全て実数であるということです。
\begin{equation}
a_0, a_1, a_2, \cdots , a_n \in \mathbb{R}
\end{equation}
ここで、の両辺について、複素共軛をとります。0の共軛は、0です。つまり、
\begin{equation}
\overline{f(z)} =0
\end{equation}です。
一方、
\begin{equation}
\overline{f(z)} = \overline{a_0 +a_1 z +a_2 z^2 +\cdots +a_n z^n}
\end{equation}ですが、
- 和の共軛は、共軛の和
- 積の共軛は、共軛の積
- べき乗の共軛は、共軛のべき乗
- 実数の共軛は、元の実数
であることを用いると、次のように変形できます。
共軛複素数 - 数式で独楽する
共軛複素数 その2 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\overline{f(z)} &=& \overline{a_0} +\overline{a_1 z} +\overline{a_2 z^2} +\cdots +\overline{a_n z^n} \\
&=& \overline{a_0} +\overline{a_1} \bar{z} +\overline{a_2} \overline{z^2} +\cdots +\overline{a_n} \overline{z^n} \\
&=& a_0 +a_1 \bar{z} +a_2 (\bar{z})^2 +\cdots +a_n (\bar{z})^n \\
&=& f(\bar{z})
\end{eqnarray}
つまり、
\begin{equation}
f(\bar{z}) =0
\end{equation}となります。
これは、代数方程式が複素数
を解に持つとき、共軛複素数
\begin{equation}
x = \bar{z}
\end{equation}も解に持つことを示します。
