京大 2009年理系第3問 - 数式で独楽する

$n$ 枚のカードを積んだ山があり、各カードには上から順番に1から $n$ まで番号がつけられている。ただし $n \geqq 2$ とする。このカードの山に対して次の試行を繰り返す。1回の試行では、一番上のカードを取り、山の一番上に戻すか、あるいはいずれかのカードの下に入れるという操作を行う。これら $n$ 通りの操作はすべて同じ確率であるとする。 $n$ 回の試行を終えたとき、最初一番下にあったカード(番号 $n$ )が山の一番上にきている確率を求めよ。

解答例
解説

解答例

試行開始前に上から $k$ 番目にある番号 $n$ の札が、試行後に1枚分上に上がる確率は、
\begin{equation}
\frac{n +k -1}{n}
\end{equation}です。

$n$ 回の試行後に $n$ 番の札が一番上にある状況は以下の通りです。

$n -1$ 回の試行後に $n$ 番の札が

(a) 一番上にあり、一番上を取り一番上に戻す。
(b) 上から2番目にあり、一番上を取り2番目以降に戻す。

(a)の確率について
(ア) $n -1$ 回の試行後に $n$ 番札が一番上にある確率は、
\begin{equation}
\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \cdots \cdot \frac{n -1}{n}
\end{equation}です。
(イ) $n$ 回目の試行で一番上を取り一番上に戻す確率は $\displaystyle \frac{1}{n}$ です。
よって、当該の確率は、
\begin{equation}
\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \cdots \cdot \frac{n -1}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{(n -1)!}{n^n}
\end{equation}です。

(b)の確率について
(ア) $n -1$ 回の試行後に $n$ 番札が上から2番目にあるのは、 $n$ 番札が、

上がる試行を $n -2$ 回
上がらない試行を $n$ 番札が $2,3,\cdots, n$ 番目のいずれかにある時に1回

行った場合です。
確率は、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \cdots \cdot \frac{n -2}{n} \sum_{k =2}^n \frac{k -1}{n}
&=& \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \cdots \cdot \frac{n -2}{n} \frac{(n -1)n}{2n} \\
&=& \frac{(n -1)! \, n}{2n^{n -1}}
\end{eqnarray}です。
(イ) $n$ 回目の試行で $n$ 番札が上がる確率は
\begin{equation}
\frac{n -1}{n}
\end{equation}です。
したがって、(b)の確率は
\begin{equation}
\frac{(n -1)! \, n}{2n^{n -1}} \cdot \frac{n -1}{n} = \frac{(n -1)! \, (n -1)n}{2n^n}
\end{equation}となります。

よって、求める確率は
\begin{equation}
\frac{(n -1)!}{n^n} +\frac{(n -1)! \, (n -1)n}{2n^n} = \frac{(n -1)! \, (n^2 -n +2)}{2n^n}
\end{equation}です。

解説

1回の試行で $n$ 番札は1枚分上がるか、動かないかのいずれかです。
このことを踏まえて、 $n$ 番札が一番上にある状況を切り分けて、それぞれの確率を求めます。