のとき
\begin{eqnarray}
1 +\cos \theta +\cos 2\theta +\cdots +\cos n\theta &=& \cfrac{\cos \cfrac{n\theta}{2} \, \sin \cfrac{(n +1) \, \theta}{2}}{\sin \cfrac{\theta}{2}} \\
\sin \theta +\sin 2\theta +\cdots +\sin n\theta
&=& \cfrac{\sin \cfrac{n\theta}{2} \, \sin \cfrac{(n +1) \, \theta}{2}}{\sin \cfrac{\theta}{2}}
\end{eqnarray}
余弦と正弦の、倍角の和です。
を用いると、意外と簡単にこの関係を示すことができます。
指数関数の級数展開とオイラーの公式 - 数式で独楽する
指数関数と三角関数の関係 - 数式で独楽する
等比数列の和と等比級数 - 数式で独楽する
まず、
\begin{eqnarray}
&& 1 +e^{i\theta} +e^{i \cdot 2\theta} +\cdots +e^{in\theta} \\
&&= \frac{1 -e^{i(n +1) \, \theta}}{1 -e^{i\theta}} \\
&&= \cfrac{\exp \left( -\cfrac{i(n +1) \, \theta}{2} \right) -\exp \cfrac{i(n +1) \, \theta}{2}}{2i} \cdot \cfrac{2i}{\exp \left( -\cfrac{i\theta}{2} \right) -\exp \cfrac{i\theta}{2}} \cdot \cfrac{\exp \cfrac{i(n +1) \, \theta}{2}}{\exp \cfrac{i\theta}{2}} \\
&&= \cfrac{-\sin \cfrac{(n +1) \, \theta}{2}}{-\sin \cfrac{\theta}{2}} \cdot \exp \frac{in\theta}{2} \\
&&= \cfrac{\sin \cfrac{(n +1) \, \theta}{2}}{\sin \cfrac{\theta}{2}} \left( \cos \frac{n\theta}{2} +i \sin \frac{n\theta}{2} \right)
\end{eqnarray}です。*1
一方、
\begin{eqnarray}
&& 1 +e^{i\theta} +e^{i \cdot 2\theta} +\cdots +e^{in\theta} \\
&& = (1 +\cos \theta +\cos 2\theta +\cdots +\cos n\theta) +i(\sin \theta +\sin 2\theta +\cdots +\sin n\theta)
\end{eqnarray}です。
実部と虚部がそれぞれ等しいので、
\begin{eqnarray}
1 +\cos \theta +\cos 2\theta +\cdots +\cos n\theta &=& \cfrac{\cos \cfrac{n\theta}{2} \, \sin \cfrac{(n +1) \, \theta}{2}}{\sin \cfrac{\theta}{2}} \\
\sin \theta +\sin 2\theta +\cdots +\sin n\theta
&=& \cfrac{\sin \cfrac{n\theta}{2} \, \sin \cfrac{(n +1) \, \theta}{2}}{\sin \cfrac{\theta}{2}}
\end{eqnarray}を得ます。
初項の引数を0に限定しないパターンは、別の記事に書きます。
三角関数の数列の和その2 - 数式で独楽する
*1:表記上の問題で \begin{equation} \exp x = e^x \end{equation}を用いています。
