\begin{equation}
x^3 +y^3 +z^3 -3xyz = (x +y +z)(x^2 +y^2 +z^3 -xy -yz -zx)
\end{equation}
\begin{equation}
x^3 +(y +z)^3 = (x +y +z) \left \{ x^2 -x(y +z) +(y +z)^2 \right \} \tag{1}
\end{equation}から攻めていきます。
\begin{equation}
(y +z)^3 = y^3 +3y^2 z +3yz^2 +z^3
\end{equation}なので、式(1)の両辺から
\begin{equation}
3xyz +3y^2 z +3yz^2 = 3yz(x +y+z)
\end{equation}を引きます。
\begin{equation}
(y +z)^2 -3yz = y^2 -yz +z^2
\end{equation}なので、
\begin{equation}
x^3 +y^3 +z^3 -3xyz = (x +y +z)(x^2 +y^2 +z^2 -xy -yz -zx)
\end{equation}を得ます。
無理やり筆算はこちら。
x^3+y^3+z^3-3xyzの因数分解 その2 - 数式で独楽する
