実数の間の等式
\begin{equation}
\sqrt[3]{5\sqrt{2} +7} -\sqrt[3]{5\sqrt{2} -7} = 2 \tag{*}
\end{equation}を以下の手順に従って示せ。(1) 係数が整数である
の3次方程式で
\begin{equation}
x = \sqrt[3]{5\sqrt{2} +7} -\sqrt[3]{5\sqrt{2} -7}
\end{equation}を解になるものを求めよ。(2) (1)で求めた3次方程式を解くことにより、等式 (*)を証明せよ。
小問(1)の解答例
\begin{eqnarray}
u &=& \sqrt[3]{5\sqrt{2} +7} \\
v &=& -\sqrt[3]{5\sqrt{2} -7}
\end{eqnarray}とすると、以下の式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
x &=& u +v \\
u^3 +v^3 &=& 14 \\
uv &=& -\sqrt[3]{1} =-1
\end{eqnarray}
これらより、
\begin{eqnarray}
x^3 &=& (u +v)^3 \\
&=& u^3 +3u^2 v +3uv^2 +v^3 \\
&=& u^3 +3uv(u +v) +v^3 \\
&=& -3x +14
\end{eqnarray}つまり
\begin{equation}
x^3 +3x -14 = 0 \tag{1}
\end{equation}を得ます。
小問(2)の解答例
式(1)より
\begin{eqnarray}
(x -2)(x^2 +2x +7) = 0 \\
\therefore \quad x &=& 2, \ -1 \pm \sqrt{6} \, i
\end{eqnarray}を得ます。
は実数なので
\begin{equation}
x = 2
\end{equation}です。
よって題意は証明されました。
解説
これもカルダノの公式をベースにした問題です。
そんなことを知らなくても、与えられたを見れば本文のように
を定めてみると何とかなりそうな気がします。実際、何とかなっています。
発想はこちらと全く同じです。
2002年後期 大阪教育大 - 数式で独楽する
