2002年後期大阪教育大 - 数式で独楽する

\begin{equation}
\alpha = \sqrt[3]{\sqrt{\frac{28}{27}} +1 \ } -\sqrt[3]{\sqrt{\frac{28}{27}} -1 \ }
\end{equation}とする。
(1) 整数を係数とする3次方程式で、 $\alpha$ を解に持つものがあることを示せ。
(2) $\alpha$ は整数であることを示せ。またその整数を答えよ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
解説

小問(1)の解答例

\begin{eqnarray}
u &=& \sqrt[3]{\sqrt{\frac{28}{27}} +1 \ } \\
v &=& -\sqrt[3]{\sqrt{\frac{28}{27}} -1 \ }
\end{eqnarray}とすると、以下の式が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
\alpha &=& u +v \\
u^3 +v^3 &=& \sqrt{\frac{28}{27}} +1 -\sqrt{\frac{28}{27}} +1 = 2 \\
uv &=& -\sqrt[3]{\frac{1}{27}} =-\frac{1}{3}
\end{eqnarray}
これらより、
\begin{eqnarray}
\alpha^3 &=& (u +v)^3 \\
&=& u^3 +3u^2 v +3uv^2 +v^3 \\
&=& u^3 +3uv(u +v) +v^3 \\
&=& 2 -\alpha
\end{eqnarray}つまり
\begin{equation}
\alpha^3 +\alpha -2 = 0 \tag{1}
\end{equation}を得ます。
よって題意は証明されました。

小問(2)の解答例

式(1)より
\begin{eqnarray}
(\alpha -1)(\alpha^2 +\alpha +2) = 0 \\
\therefore \quad \alpha &=& 1, \ \frac{-1 \pm \sqrt{7} \, i}{2}
\end{eqnarray}を得ます。
$\alpha$ は実数なので
\begin{equation}
\alpha = 1
\end{equation}です。
よって題意は証明されました。