カルダノの公式とは、3次方程式の解を求める公式です。
カルダノの公式
3次方程式
\begin{equation}
x^3 +px +q = 0 \tag{1}
\end{equation}の解の一つは
\begin{equation}
x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} +\sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2} -\sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ }
\end{equation}と表すことができます。
本稿では、実際にカルダノの公式を用いて
\begin{equation}
x^3 -7x +6 = 0 \tag{1}
\end{equation}の解を求めてみます。
なお、
\begin{equation}
(x -1)(x -2)(x +3) = 0
\end{equation}なので
\begin{equation}
x = 1,2,-3
\end{equation}です。
では、カルダノの公式を用いて、式(1)の解の1つを書き下します。
\begin{eqnarray}
x &=& \sqrt[3]{-3 +\sqrt{9 -\frac{343}{27}} \ } +\sqrt[3]{-3 -\sqrt{9 -\frac{343}{27}} \ } \\
&=& \sqrt[3]{-3 +\sqrt{\frac{100}{27}} \, i \ } +\sqrt[3]{-3 -\sqrt{\frac{100}{27}} \, i \ } \\
&=& \sqrt[3]{-3 +\frac{10}{9} \sqrt{3} \, i \ } +\sqrt[3]{-3 -\frac{10}{9} \sqrt{3} \, i \ } \tag{2}
\end{eqnarray}
これが、1, 2, -3のいずれかになるというのです。見ていきましょう。
以下、視認性を良くするため、
\begin{eqnarray}
u &=& \sqrt[3]{-3 +\frac{10}{9} \sqrt{3} \, i \ } \\
v &=& \sqrt[3]{-3 -\frac{10}{9} \sqrt{3} \, i \ } \\
\omega &=& \frac{-1 +\sqrt{3} \, i}{2}
\end{eqnarray}とします。
式(1)の3つの解は、式(2)を含め
\begin{eqnarray}
x &=& u + v \\
&=& \omega u +\omega^2 v \\
&=& \omega^2 u +\omega v
\end{eqnarray}と書けます。
を図示すると、次のようになります。
図では
\begin{eqnarray}
z_1 &=& u \\
z_2 &=& \omega u \\
z_3 &=& \omega^2 u
\end{eqnarray}です。
3乗根が厳ついですが、絶対値と偏角に分けると図に描くことができます。
また、ここでは
\begin{eqnarray}
v &=& \bar{u} \\
\omega v &=& \overline{\omega u} &=& \omega^2 \bar{u} \\
\omega^2 v &=& \overline{\omega^2 u} &=& \omega \bar{u}
\end{eqnarray}です。
を図示すると、次のようになります。
図では
\begin{eqnarray}
z_1 &=& u \\
z_2 &=& v \\
z_3 &=& u +v
\end{eqnarray}で、
\begin{equation}
u +v = 2
\end{equation}となっています。
は次の図です。図では
\begin{eqnarray}
z_1 &=& \omega u \\
z_2 &=& \omega^2 v \\
z_3 &=& \omega u +\omega^2 v
\end{eqnarray}で、
\begin{equation}
\omega u +\omega^2 = -3
\end{equation}となっています。
は次の図です。
図では
\begin{eqnarray}
z_1 &=& \omega^2 u \\
z_2 &=& \omega v \\
z_3 &=& \omega^2 u +\omega v
\end{eqnarray}で、
\begin{equation}
\omega^2 u +\omega v = 1
\end{equation}となっています。
まとめると、
\begin{eqnarray}
u +v &=& 2 \\
\omega u +\omega^2 v &=& -3 \\
\omega^2 u +\omega v &=& 1
\end{eqnarray}です。
複素数の3乗根の和が厳つい形ですが、なぜか実数になっています。
この問題では和をとる2数が互いに複素共軛なので、落ち着いて考えれば当然の結果です。
このように、カルダノの公式で3次方程式の解を出すことができるのですが、その形の厳つさゆえ、評価が分かれるかもしれません。
係数が実数の3次方程式は解の1つが必ず実数になるので、その解をどうにか見つけて因数分解をしてみるのが現実的な解法なのでしょう。
