2005年前期京大文系第3問別解

$\alpha, \beta$ は0でない相異なる複素数で、 $\displaystyle \frac{\alpha}{\beta} +\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\beta}} = 2$ を満たすとする。このとき、 $\alpha, \beta, \gamma$ の表す複素平面上の3点を結んで得られる三角形はどのような三角形か。

解答例
解説

解答例

複素数 $\alpha, \beta$ を、実数 $a > 0, \ b > 0, \ \theta, \ \phi$ を用いて
\begin{eqnarray}
\alpha &=& a \, e^{i \theta} \\
\beta &=& b \, e^{i \phi}
\end{eqnarray}とします。
共役(共軛)複素数は
\begin{eqnarray}
\bar{\alpha} &=& a \, e^{-i \theta} \\
\bar{\beta} &=& b \, e^{-i \phi}
\end{eqnarray}です。

これより、
\begin{equation}
\frac{\alpha}{\beta} +\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\beta}} = \frac{2a}{b} \, \cos (\theta -\phi) = 2
\end{equation}となります。
複素数の極形式 - 数式で独楽する

したがって、
\begin{equation}
\cos (\theta -\phi) = \frac{b}{a} \tag{1}
\end{equation}を得ます。
ここで、 $|\theta -\phi|$ は $\alpha, \beta$ のなす角になります。
式(1)は、 $0, \alpha, \beta$ が頂点 $\beta$ を直角とする直角三角形であることを示しています。
三角比・三角関数 - 数式で独楽する

三角形 $0\alpha \beta$ が直角三角形であることを式(1)は示しているわけですが、補足しておきます。
$|\alpha -\beta| = c$ として第2余弦定理を用いると
第2余弦定理 - 数式で独楽する
\begin{equation}
c^2 = a^2 +b^2 -2ab \cos (\theta -\phi)
\end{equation}となります。
これに式(1)を当てはめると
\begin{equation}
c^2 = a^2 -b^2
\end{equation}つまり
\begin{equation}
a^2 = b^2 +c^2
\end{equation}を得ます。
三平方の定理の定理の逆
三平方の定理の逆 - 数式で独楽する
により、頂点 $\beta$ がを直角であることが分かります。