2022年京大理系第2問 - 数式で独楽する

箱の中に1から $n$ までの番号のついた $n$ 枚の札がある。ただし $n \geqq 5$ とし、同じ番号の札はないとする。この箱から3枚の札を同時に取り出し、札の番号を小さい順に $X, Y, Z$ とする。このとき、 $Y -X \geqq 2$ かつ $Z -Y \geqq 2$ となる確率を求めよ。

解答例
解説

解答例

求める確率は、 $X,Y,Z$ がいずれも連続する番号、つまり連番にならない確率です。

まず、あり得る組合せを求めます。これを $M$ 通りとします。 $n$ 枚の札から3枚を取り出す組合せなので
\begin{equation}
M = {}_n C_3 = \frac{n(n -1)(n -2)}{6} \tag{1}
\end{equation}です。

次に、3枚のうちに連番ができる組合せを考えていきます。

3枚が連番になる組合せを $m_{XYZ}$ 通りとすると、
\begin{equation}
m_{XYZ} = n -2 \tag{2}
\end{equation}です。

2枚が連番になる組合せを考えます。
$Y,Z$ のみが連番になる組合せを $m_{YZ}$ とします。
\begin{eqnarray}
Y &=& k +2 \\
Z &=& k +3 \quad (k = 1,2, \cdots , n -3)
\end{eqnarray}の場合、あり得る $X$ は
\begin{equation}
X = 1, 2, \cdots , k
\end{equation}の $k$ 通りです。
$Y,Z$ のみが連番となるのは $k = 1,2, \cdots , n -3$ の場合を足し上げればよく、
\begin{equation}
m_{YZ} = \sum_{k = 1}^{n -3} = \frac{(n -3)(n -2)}{2} \tag{3}
\end{equation}となります。

$X,Y$ のみが連番となる組合せを $m_{XY}$ とします。
これは $Y,Z$ が連番となる場合を反転させて考えればよく、
\begin{equation}
m_{XY} = m_{YZ} = \frac{(n -3)(n -2)}{2} \tag{4}
\end{equation}となります。

式(2)～(4)より、3枚のうち少なくとも2枚が連番となる組合せ $m$ は
\begin{eqnarray}
m &=& m_{XYZ} +m_{XY} +m_{YZ} \\
&=& (n -2) +2 \times \frac{(n -3)(n -2)}{2} \\
&=& (n -2)^2 \tag{5}
\end{eqnarray}となります。

したがって、式(1), (5)より、3枚が連番にならない組合せ $\bar{m}$ は
\begin{eqnarray}
\bar{m} &=& M -m \\
&=& \frac{n(n -1)(n -2)}{6} -(n -2)^2 \\
&=& \frac{(n -2) \left \{ n(n -1) -6(n -2) \right \}}{6} \\
&=& \frac{(n -2)(n ^2 -n -6n +12)}{6} \\
&=& \frac{(n -2)(n^2 -7n +12)}{6} \\
&=& \frac{(n -2)(n -3)(n -4)}{6} \tag{6}
\end{eqnarray}となります。

よって、式(1), (6)より、求める確率 $P$ は
\begin{eqnarray}
P &=& \frac{\bar{m}}{M} \\
&=& \cfrac{\ \cfrac{(n -2)(n -3)(n -4)}{6} \ }{\cfrac{n(n -1)(n -2)}{6}} \\
&=& \frac{(n -3)(n -4)}{n(n -1)}
\end{eqnarray}となります。

解説

条件を表す式の意味するところを、読み解く必要があります。
連番とならない確率なのですが、正面から連番とならない組合せを考えるのは面倒です。そこで、連番となる組合せを考えて、全ての組合せから引いています。
確率は、
\begin{equation}
\mbox{確率} = \frac{\mbox{当該の組合せ}}{\mbox{全ての組合せ}}
\end{equation}で考えるのが基本です。
結果を見ると、意外と美しい形をしています。