虚数単位の平方根
\begin{equation}
\sqrt{i} = \pm \frac{1 +i}{\sqrt{2}}
\end{equation}
虚数単位は
\begin{equation}
i^2 = -1
\end{equation}を満たす数です。その平方根は、冒頭の式で表すことができます。
虚数単位を極形式で表すと
\begin{equation}
i = e^{\pi i/2} = \cos \frac{\pi}{2} +i \sin \frac{\pi}{2}
\end{equation}です。
複素数の極形式 - 数式で独楽する
平方根は
\begin{equation}
\sqrt{i} = i^{1/2} = e^{\pi i/4} = \cos \frac{\pi}{4} +i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1 +i}{\sqrt{2}}
\end{equation}となります。
一方、
\begin{equation}
\left( -\frac{1 +i}{\sqrt{2}} \right)^2 =i
\end{equation}となるので、こちらも該当します。
さて、
\begin{equation}
\sqrt{i} = x + y \, i \quad (x,y \in \mathbb{R})
\end{equation}とすると
\begin{equation}
i = x^2 -y^2 +2xy \, i
\end{equation}となります。
これより、次の式(1), (2)が同時に
成り立ちます。
\begin{eqnarray}
x^2 -y^2 &=& 0 \tag{1} \\
2xy &=& 1 \tag{2}
\end{eqnarray}
式(1)は
\begin{equation}
(x +y)(x -y) = 0
\end{equation}なので、
\begin{equation}
y = \pm x
\end{equation}となります。
の場合、式(2)
\begin{equation}
-2x^2 = 1
\end{equation}を満たす実数は存在しません。
の場合、式(2)は
\begin{equation}
2x^2 = 1
\end{equation}となります。
\begin{equation}
x = y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{equation}を得ます。
以上より、こちらの方法でも
\begin{equation}
\sqrt{i} = \pm \frac{1 +i}{\sqrt{2}}
\end{equation}となります。
