2022年東大理科第5問 - 数式で独楽する

座標空間内の点A(0, 0, 2)と点(1, 0, 1)を結ぶ線分ABを $z$ 軸のまわりに1回転させて得られる曲面を $S$ とする。 $S$ 上の点Pと $xy$ 平面上の点QがPQ=2をみたしながら動くとき、線分PQの中点Mが通過しうる範囲を $K$ とする。 $K$ の体積を求めよ。

解答例
解説

解答例

点Pを線分AB上にあるとして点Mが通過し得る範囲を定め、それを $z$ 軸まわりに1回転させても、 $K$ を得ることができます。
\begin{eqnarray}
\mathrm{P} && (t, \ 0, \ 2 -t), \\
\mathrm{H} && (t, \ 0, \ 0), \\
\mathrm{N} && \left( t, \ 0, \ 1 -\frac{t}{2} \right) , \\
\mathrm{J} && \left( 0, \ 0, \ 1 -\frac{t}{2} \right)
\end{eqnarray}とします。なお、

H : 点Pから $xy$ 平面に下ろした垂線の足、
N : 線分PHの中点、
J : 点M, Nから $z$ 軸に下ろした垂線に足

です。
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PQ=2より、
\begin{eqnarray}
\mathrm{HQ}^2 &=& \mathrm{PQ}^2 -\mathrm{PH}^2 = 4 -(2 -t)^2 \\
\mathrm{NM}^2 &=& \left( \frac{1}{2}\, \mathrm{HQ}^2 \right) = 1 -\left( 1 -\frac{t}{2} \right)^2
\end{eqnarray}を得ます。
これにより、点Pを線分AB上に固定した場合の点Mの軌跡は、以下の諸元を満たす円 $C$ となります。

平面 $\displaystyle z = 1 -\frac{t}{2}$ 上
中心は点N
半径はNM $= \displaystyle \sqrt{1 -\left( 1 -\frac{t}{2} \right)^2}$

さて、
\begin{eqnarray}
\mathrm{NM}^2 -\mathrm{NJ}^2
&=& 1 -\left( 1 -\frac{t}{2} \right)^2 -t^2 \\
&=& t -\frac{5}{4} \, t^2 \\
&=& t \left( 1 -\frac{5}{4} \right)
\end{eqnarray}なので、 $z$ 軸が円 $C$ を通過するか否かは、

$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{4}{5}$ の場合、通過する。
$\displaystyle \frac{4}{5} < t \leqq 1$ の場合、通過しない。

となります。
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円 $C$ を $z$ 軸まわりに1回転させると、点Pを線分AB上に固定した場合に点Mが通過する部分の面積、すなわち $K$ の平面 $\displaystyle z = 1 -\frac{t}{2} \ \left( \frac{1}{2} \leqq z \leqq 1 \right)$ における断面積 $T(z)$ を得ることができます。
また、 $z$ 軸が円 $C$ を通過するか否かによらず $T(z)$ は、半径NJ+NMの円より半径|NJ-NM|の円を除いた図形の面積となります。
すなわち、
\begin{eqnarray}
T(z) &=& \pi \left \{ \sqrt{1 -\left( 1 -\frac{t}{2} \right)^2} +t \right \}^2 -\pi \left \{ \sqrt{1 -\left( 1 -\frac{t}{2} \right)^2} -t \right \}^2 \\
&=& 4\pi t \sqrt{1 -\left( 1 -\frac{t}{2} \right)^2} \\
&=& 4\pi t \, (1 -2z) \sqrt{1 -z^2}
\end{eqnarray}を得ます。

求める体積は、
\begin{eqnarray}
V &=& \int_{1/2}^1 T(z) \, dz \\
&=& 4\pi \left( \int_{1/2}^1 \sqrt{1 -z^2} \, dz -\int_{1/2}^1 2z \sqrt{1 -z^2} \, dz \right)
\end{eqnarray}となります。

括弧内の第1項は、半径1の円の6分の1より斜辺が1で60°の角を持つ直角三角形を除いたものの面積に等しく、
\begin{eqnarray}
\int_{1/2}^1 \sqrt{1 -z^2} \, dz &=& \frac{\pi}{6} -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\
&=& \frac{\pi}{6} -\frac{\sqrt{3}}{8}
\end{eqnarray}です。

括弧内の第2項は、
\begin{eqnarray}
\int_{1/2}^1 2z \sqrt{1 -z^2} \, dz &=& \left[ -\frac{2}{3} \, (1 -z^2)^{3/2} \right]_{1/2}^1 \\
&=& \frac{2}{3} \left( \frac{3}{4} \right)^{3/2} \\
&=& \frac{2}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{8} \\
&=& \frac{\sqrt{3}}{4}
\end{eqnarray}です。

よって、
\begin{eqnarray}
V &=& 4\pi \left( \frac{\pi}{6} -\frac{\sqrt{3}}{8} -\frac{\sqrt{3}}{4} \right) \\
&=& \frac{2}{3} \, \pi^2 -\frac{3\sqrt{3}}{8} \, \pi
\end{eqnarray}となります。