逆正接関数の不定積分
\begin{equation}
\int \tan^{-1} x \, dx = x \tan^{-1} x -\frac{1}{2} \, \log (1 +x^2) +C
\end{equation}は積分定数です。
逆正接関数の不定積分は、部分積分と置換積分を駆使して求めることができます。
部分積分 - 数式で独楽する
置換積分 - 数式で独楽する
一旦、逆正接関数を積分で表すことになります。
\begin{equation}
\tan^{-1} x = \int_0^x \frac{dt}{1 +t^2}
\end{equation}
角の大きさを表現する その3 - 数式で独楽する
逆三角関数の定積分表現 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\int \tan^{-1} x \, dx &=& \int \left( \int_0^x \frac{dt}{1 +t^2} \right) dx \\
&=& x \int_0^x \frac{dt}{1 +t^2} -\int \frac{x \,dx}{1 +x^2} \\
&=& x \tan^{-1} x -\frac{1}{2} \, \log (1 +x^2) +C
\end{eqnarray}
2行目への変形は部分積分です。
3行目への変形はを置換すると得られます。
