マクローリン(Maclaurin)展開
\begin{eqnarray}
f(x) &=& f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots \\
&=& \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
\end{eqnarray}
マクローリン展開 - 数式で独楽する
において、
\begin{equation}
f(x) = (1+x)^r
\end{equation}とすると、のマクローリン展開が得られます。
ここで、rは任意の実数とします。
微分すると
\begin{equation}
\left \{ (1+x)^r \right \} ' = r(1+x)^{r - 1}
\end{equation}です。何回でも微分できて、
\begin{equation}
\frac{d^n}{dx^n}(1+x) = r(r - 1)(r -2 )\cdots (r - n +1)(1+x)^{r - n}
\end{equation}となります。
したがって、のマクローリン展開は、
\begin{equation}
(1+x)^r = 1 + rx + \frac{r(r -1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{r(r - 1)(r - 2)\cdots (r - n + 1)}{n!} x^n + \cdots
\end{equation}となります。
和の記号で書くと、
\begin{equation}
(1+x)^r = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{r(r - 1)(r - 2)\cdots (r - n + 1)}{n!}x^n
\end{equation}です。
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{cc}
r \\
n
\end{array}
\right) = \frac{r(r - 1)(r - 2)\cdots (r - n + 1)}{n!}
\end{equation}という表記*1を用いると、
\begin{equation}
(1+x)^r = \sum_{n = 0}^{\infty} \left(
\begin{array}{cc}
r \\
n
\end{array}
\right) x^n
\end{equation}となります。
級数は、で収束します。
実数rが自然数の場合、途中でn = rとなります。
以降、n > rで
\begin{equation}
\frac{d^n}{dx^n}(1 + x)^r = 0
\end{equation}となるので、二項定理そのものとなります。
二項定理 - 数式で独楽する
