2004年前期京大理系第6問 - 数式で独楽する

$N$ を自然数とする。 $N +1$ 個の箱があり、1から $N +1$ までの番号が付いている。番号1から $N$ までの箱に入っている玉は白玉で、番号 $N +1$ の箱に入っている玉は赤玉である。次の操作(*)を、各々の $k L 1, 2, \cdots, N +1$ に対して、 $k$ が小さい方から順番に1回ずつ行う。
(*) $k$ 以外の番号の $N$ 個の箱から1個の箱を選び、その箱の中身と番号 $k$ の箱の中身を交換する。(ただし、 $N$ 個の箱から1個を選ぶ事象は、どれも同様に確からしいとする。)
操作がすべて終了した後、赤玉が番号 $N +1$ の箱に入っている確率を求めよ。

解答例
解説

解答例

条件を満たすのは、 $N$ 回の操作の後に番号 $N +1$ の箱に赤玉が入っていない場合に限られます。

$N$ 回の操作の後に番号 $N +1$ の箱に赤玉が入っているのは、 $N$ 回の操作のいずれもで番号 $N +1$ の箱と中身を入れ替えなかった場合です。その確率は
\begin{equation}
\left( 1 -\frac{1}{N} \right)^N
\end{equation}です。
したがって、 $N$ 回の操作の後に、番号 $N +1$ の箱に赤玉が入っていない確率は
\begin{equation}
1 -\left( 1 -\frac{1}{N} \right)^N
\end{equation}となります。*1

この時点で、番号1から $N$ までの箱のいずれかに赤玉が入っています。 $N +1$ 回目の操作でその箱を選ぶ確率は $\displaystyle \frac{1}{N}$ です。

よって、求める確率は、
\begin{equation}
\frac{1}{N} \left \{ 1 -\left( 1 -\frac{1}{N} \right)^N \right \}
\end{equation}となります。

解説

確率の問題では、条件を満たす状況はどのようなものかを、丁寧に読み解く必要があります。
読み解くことができれば、余事象を用いて当該の確率を求めることになります。

*1:余事象です。