に対して、関数
を次のように定義する。
\begin{equation}
f(x) = \left \{ \begin{array}{cl}
x & (0 \leqq x \leqq 1 \ \mbox{のとき}) \\
0 & (x > 1 \ \mbox{のとき})
\end{array} \right.
\end{equation}
このとき、を求めよ。
解答例
において
\begin{equation}
4nx(1 -x) \geqq 0
\end{equation}です。
\begin{equation}
y = f(4nx(1 -x))
\end{equation}のグラフはで対称です。
また、
\begin{equation}
4nx(1 -x) = 4nx -4nx^2 > 1 \tag{1}
\end{equation}となる区間は
\begin{equation}
f(4nx(1 -x)) = 0
\end{equation}となります。
式(1)を満たす区間は
\begin{equation}
x^2 -x +\frac{1}{4n} < 0 \tag{1}
\end{equation}より、
\begin{equation}
\frac{1}{2} \left( 1 -\sqrt{1 -\frac{1}{n}} \ \right) < x < \frac{1}{2} \left( 1 +\sqrt{1 -\frac{1}{n}} \ \right)
\end{equation}となります。*1
したがって、積分の値は次のようになります。
グラフの対称性から、左半分を求めて2倍します。
\begin{eqnarray}
n \int_0^1 f(4nx(1 -x)) \, dx
&=& \int_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{2} \left( 1 -\sqrt{1 -\frac{1}{n}} \ \right)} (4nx -4nx^2) \, dx \\
&=& 8n^2 \left[ \frac{1}{2} \, x^2 -\frac{1}{3} \ x^3 \right]_0^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{2} \left( 1 -\sqrt{1 -\frac{1}{n}} \ \right)} \\
&=& 8n^2 \left \{ \frac{1}{8} \left(1 -\sqrt{1 -\frac{1}{n}} \ \right)^2 -\frac{1}{24} \left( 1 -\sqrt{1 -\frac{1}{n}} \ \right)^3 \right \} \\
&=& \frac{1}{3} \left[ 3 \left( 1 +1 -\frac{1}{n} -2\sqrt{1 -\frac{1}{n}} \ \right) \right. \\
&& \left. -\left \{ 1 -3\sqrt{1 -\frac{1}{n}} +3 \left( 1 -\frac{1}{n} \right) -\left( 1 -\frac{1}{n} \right) \sqrt{1 -\frac{1}{n}} \ \right \} \right] \\
&=& \frac{1}{3} \, n^2 \left( 2 -2\sqrt{1 -\frac{1}{n}} -\frac{1}{n} \sqrt{1 -\frac{1}{n}} \ \right) \\
&=& \frac{1}{3} \left \{ 2n^2 -(2n^2 +n) \sqrt{1 -\frac{1}{n}} \ \right \} \\
&=& \frac{1}{3} \left \{ 2n^2 -(2n +1) \sqrt{n^2 -1} \right \} \\
&=& \frac{1}{3} \frac{\left \{ 2n^2 -(2n +1) \sqrt{n^2 -1} \right \} \left \{ 2n^2 +(2n +1) \sqrt{n^2 -1} \right \} }{2n^2 +(2n +1) \sqrt{n^2 -1}} \\
&=& \frac{1}{3} \, \frac{\ 4n^4 -(2n +1)^2 (n^2 -n) \ \ }{2n^2 +(2n +1) \sqrt{n^2 -1}} \\
&=& \frac{1}{3} \, \frac{\ 4n^4 -(4n ^2 +4n +1)(n^2 -n)\ \ \ }{2n^2 +(2n +1) \sqrt{n^2 -1}} \\
&=& \frac{1}{3} \, \frac{\ 4n^4 -4n^4 -4n^3 -n^2 +4n^3 +4n^2 +n \ \ \ \ }{2n^2 +(2n +1) \sqrt{n^2 -1}} \\
&=& \frac{1}{3} \, \frac{3n^2 +n}{\ 2n^2 +(2n +1) \sqrt{n^2 -1} \ \ } \\
&=& \frac{1}{3} \, \cfrac{3 +\cfrac{1}{n}}{\ 2 +\left( 2 +\cfrac{1}{n} \right) \sqrt{1 -\cfrac{1}{n}} \ }
\end{eqnarray}
よって、求める極限は
\begin{eqnarray}
\lim_{n \to +\infty} n \int_0^1 f(4nx(1 -x)) \, dx &=& \frac{1}{3} \, \frac{3}{2 +2} \\
&=& \frac{1}{4}
\end{eqnarray}となります。
解説
煩雑な、極限を求める計算問題です。
を増やしていくと積分区間は限りなく細くなり、積分の値はなにがしかの値に収束すると想像できます。
極限はの不定形になっており、強引に極限を求められる形に変形しています。分母の有理化とは逆の操作をしています。そこが煩雑です。
*1:式(1)の左辺=0の解は \begin{equation} x = \cfrac{\ 1 \pm \sqrt{1 -\cfrac{1}{n}} \ }{2} = \frac{1}{2} \left( 1 \pm \sqrt{1 -\frac{1}{n}} \ \right) \end{equation}です。
