2004年後期京大理系第3問 - 数式で独楽する

平面ベクトル $\vec{x}$ に対して実数 $f(\vec{x})$ を対応させる写像 $f(\vec{x})$ が次の性質(*)を持っている。
(*) 任意の平面ベクトル $\vec{a}, \vec{b}$ に対して、 $f(\vec{a} +\vec{b}) = f(\vec{a}) +f(\vec{b})$ が成り立つ。
このとき、任意の平面ベクトル $\vec{x}$ に対して、 $\displaystyle f \left( \frac{1}{3} \, \vec{x} \right) = \frac{1}{3} \, f(\vec{x})$ が成り立つことを証明せよ。

解答例
解説

解答例

性質(*)に掲げられた式
\begin{equation}
f(\vec{a} +\vec{b}) = f(\vec{a}) +f(\vec{b})
\end{equation}において $\vec{b} = \vec{a}$ とすると、
\begin{eqnarray}
f(2 \vec{a}) &=& f(\vec{a}) +f(\vec{a}) \\
&=& 2\, f(\vec{a})
\end{eqnarray}となります。
また、 $\vec{b} = 2 \, \vec{a}$ とすると、
\begin{eqnarray}
f(3 \, \vec{a}) &=& f(2 \, \vec{a}) +f(\vec{a}) \\
&=& 2\, f(\vec{a}) +f(\vec{a}) \\
&=& 3\, f(\vec{a})
\end{eqnarray}となります。

ここで、 $\displaystyle \vec{a} = \frac{1}{3} \, \vec{x}$ とすると、
\begin{eqnarray}
f(\vec{x}) &=& 3\, f \left( \frac{1}{3} \, \vec{x} \right) \\
\therefore \quad f \left( \frac{1}{3}\, \vec{x} \right) &=& \frac{1}{3}\, f(\vec{x})
\end{eqnarray}を得ます。
よって、題意は証明されました。