のとき
\begin{eqnarray}
\cos \alpha +\cos (\alpha +\theta) +\cos (\alpha +2\theta) +\cdots +\cos (\alpha +(n -1)\, \theta) \\
= \cfrac{\cos \left( \alpha +\cfrac{(n -1) \, \theta}{2} \right) \, \sin \cfrac{n\theta}{2}}{\sin \cfrac{\theta}{2}} \\
\sin \alpha +\sin (\alpha +\theta) +\sin (\alpha +2\theta) +\cdots +\sin (\alpha +(n -1) \, \theta) \\
= \cfrac{\sin \left( \alpha +\cfrac{(n -1) \, \theta}{2} \right) \, \sin \cfrac{n\theta}{2}}{\sin \cfrac{\theta}{2}}
\end{eqnarray}
余弦と正弦の、引数を等差数列として和をとったものです。
三角関数の数列の和その1 - 数式で独楽する
で、初項の引数を0に限定しないものです。
こちらも
を用いると、意外と簡単にこの関係を示すことができます。
指数関数の級数展開とオイラーの公式 - 数式で独楽する
指数関数と三角関数の関係 - 数式で独楽する
等比数列の和と等比級数 - 数式で独楽する
まず、
\begin{eqnarray}
&& e^{i\alpha} +e^{i \, (\alpha +\theta)} +e^{i \, (\alpha +2\theta)} +\cdots +e^{i \, [\alpha +(n -1) \, \theta]} \\
&&= \frac{e^{i\alpha}(1 -e^{in\theta}}{1 -e^{i\theta}} \\
&&= \exp i\alpha \cdot \cfrac{\exp \left( -\cfrac{in\theta}{2} \right) -\exp \cfrac{in\theta}{2}}{2i} \cdot \cfrac{2i}{\exp \left( -\cfrac{i\theta}{2} \right) -\exp \cfrac{i\theta}{2}} \cdot \cfrac{\exp \cfrac{in\theta}{2}}{\exp \cfrac{i\theta}{2}} \\
&&= \cfrac{-\sin \cfrac{n\theta}{2}}{-\sin \cfrac{\theta}{2}} \cdot \exp i \left( \alpha +\frac{(n -1) \, \theta}{2} \right) \\
&&= \cfrac{\sin \cfrac{n\theta}{2}}{\sin \cfrac{\theta}{2}} \left \{ \cos \left( \alpha +\frac{(n -1) \, \theta}{2} \right) +i \sin \left( \alpha +\frac{(n -1) \, \theta}{2} \right) \right \}
\end{eqnarray}です。*1
一方、
\begin{eqnarray}
&& e^\alpha +e^{i \, (\alpha +\theta)} +e^{i \, (\alpha +2\theta)} +\cdots +e^{i \, (\alpha +(n -1) \, \theta)} \\
&& = \left( \cos \alpha +\cos (\alpha +\theta) +\cos (\alpha +2\theta) +\cdots +\cos (\alpha +(n -1) \, \theta) \right) \\
&& \quad +i \left( \sin \alpha +\sin (\alpha +\theta) +\sin (\alpha +2\theta) +\cdots +\sin (\alpha +(n -1) \, \theta) \right)
\end{eqnarray}です。
実部と虚部がそれぞれ等しいので、
\begin{eqnarray}
\cos \alpha +\cos (\alpha +\theta) +\cos (\alpha +2\theta) +\cdots +\cos (\alpha +(n -1)\, \theta) \\
= \cfrac{\cos \left( \alpha +\cfrac{(n -1) \, \theta}{2} \right) \, \sin \cfrac{n\theta}{2}}{\sin \cfrac{\theta}{2}} \\
\sin \alpha +\sin (\alpha +\theta) +\sin (\alpha +2\theta) +\cdots +\sin (\alpha +(n -1) \, \theta) \\
= \cfrac{\sin \left( \alpha +\cfrac{(n -1) \, \theta}{2} \right) \, \sin \cfrac{n\theta}{2}}{\sin \cfrac{\theta}{2}}
\end{eqnarray}を得ます。
もちろん、オイラーの公式を使わずに導くことができます。
三角関数の数列の和その3 - 数式で独楽する
三角関数の数列の和その4 - 数式で独楽する
*1:表記上の問題で \begin{equation} \exp x = e^x \end{equation}を用いています。
