京大2015年理系第1問 - 数式で独楽する

2つの関数 $y=\sin \displaystyle \left( x +\frac{\pi}{8} \right)$ と $y=\sin 2x$ のグラフの $0 \leqq x \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}$ の部分で囲まれる領域を、$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし、 $x=0$ と $x = \displaystyle \frac{\pi}{2}$ は領域を囲む線とは考えない。

解答例
解説

解答例

まず、
\begin{equation}
\sin \left( x +\frac{\pi}{8} \right) = \sin 2x
\end{equation}となる点を求めます。

$\displaystyle x +\frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}, \ 2x < \frac{\pi}{2}$ の場合、
\begin{eqnarray}
x +\frac{\pi}{8} &=& 2x \\
\therefore \quad x &=& \frac{\pi}{8}
\end{eqnarray}です。

$\displaystyle x +\frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}, \ 2x > \frac{\pi}{2}$ の場合、
\begin{eqnarray}
\frac{\pi}{2} +\left( x +\frac{\pi}{8} \right) &=& 2x +\frac{\pi}{2} \\
\therefore \quad x &=& \frac{7}{24} \, \pi
\end{eqnarray}です。

これらより、2つの曲線は
\begin{equation}
x = \frac{\pi}{8}, \ \frac{7}{24} \, \pi
\end{equation}で交わることが分かります。
f:id:toy1972:20210324213710p:plain:w300

したがって、求める立体の体積は、
\begin{eqnarray}
V &=& \pi \int_{\pi/8}^{7\pi /24} \left \{ \sin^2 2x -\sin^2 \left( x +\frac{\pi}{8} \right) \right \} \, dx \\
&=& \pi \int_{\pi/8}^{7\pi /24} \left \{ \frac{1 -\cos 4x}{2} -\cfrac{1 -\cos \left( 2x +\cfrac{\pi}{4} \right)}{2} \right \}\, dx \\
&=& \pi \left[ -\frac{1}{8} \, \sin 4x +\frac{1}{4} \, \sin \left( 2x +\frac{\pi}{4} \right) \right]_{\pi/8}^{7\pi /24} \\
&=& \pi \left( -\frac{1}{8} \sin \frac{7}{6} \, \pi +\frac{1}{4} \sin \frac{5}{6} \, \pi +\frac{1}{8} \sin \frac{\pi}{2} -\frac{1}{4} \sin \frac{\pi}{2} \right) \\
&=& \pi \left \{ -\frac{1}{8} \left( -\frac{1}{2} \right) +\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} +\frac{1}{8} -\frac{1}{4} \right \} \\
&=& \frac{\pi}{16}
\end{eqnarray}となります。