ディラックのデルタ関数は
\begin{equation}
\delta (x) = \left \{ \begin{array}{cl}
0 & (x \ne 0) \\
\infty & (x = 0)
\end{array} \right.
\end{equation}
というもので、
\begin{eqnarray}
&& \int_{-\infty}^\infty \delta (x) \, dx = 1 \\
&& \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta (x -a) \, dx = f(a)
\end{eqnarray}なる性質を満たします。
ディラックのデルタ関数のフーリエ変換は、上記の性質により、
\begin{eqnarray}
\hat{\delta}(q) &=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, \delta(x) \\
&=& 1
\end{eqnarray}となります。
