矩形波のフーリエ級数

本稿では、矩形波のフーリエ級数を見ていきます。

「矩形」とは、長方形のことです。
「矩形波」は、

1. 瞬時に波高が上がり、
2. 一定の波高を維持し、
3. 瞬時に波高が下がり、
4. 一定の波高を維持し、
5. 以下、繰り返し

という波のことです。

例を数式で書くと、次のようになります。

\begin{eqnarray}
f(x) &=& \left \{ \begin{array}{rl}
-1 & (-\pi < x < 0) \\
1 & (0 < x < \pi)
\end{array} \right. \\
f(x +2\pi) &=& f(x)
\end{eqnarray}*1

フーリエ級数に展開すると、次のようになります。

\begin{equation}
f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{4 \sin (2k +1)x}{(2k +1) \pi}
\end{equation}

関数は奇関数なので、奇関数である正弦関数で展開することになります。
は偶関数であることを踏まえ、フーリエ係数は、
\begin{eqnarray}
b_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin nx \, dx \\
&=& \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin nx \, dx \\
&=& \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin nx \, dx \\
&=& \frac{2}{n \pi} \biggl[ -\cos nx \biggr]_0^\pi
\end{eqnarray}となります。
これより、
\begin{eqnarray}
b_{2k} &=& 0 \\
b_{2k +1} &=& \frac{2}{(2k +1) \pi} (1+1) = \frac{4}{(2k +1)\pi}
\end{eqnarray}を得ます。

よって、
\begin{equation}
f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{4 \sin (2k +1)x}{(2k +1) \pi}
\end{equation}となります。

*1:この関数を1本の数式で書くと、 \begin{eqnarray} f(x) &=& (-1)^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \left[ \frac{x}{\pi} \right] $}} \\ f(x) &=& (-1)^{\raise{1ex} \hbox{$\displaystyle \scriptsize \left \lfloor \frac{x}{\pi} \right \rfloor $}} \end{eqnarray}です。 ]はガウス記号、は床関数と呼ばれるもので、中身を超えない最大の整数を表します。