単位接線ベクトル - 数式で独楽する

時刻 $t$ 、位置 $\boldsymbol{r}(t)$ で滑らかに運動している物体の速度は

\begin{equation}
\frac{d \boldsymbol{r}}{dt} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\boldsymbol{r}(t +\Delta t) -\boldsymbol{r}(t)}{\Delta t}
\end{equation}で表すことができます。速度の向きは、運動の軌跡たる曲線の接線方向になっています。*1
\begin{equation}
\boldsymbol{t} = \frac{\dot{\boldsymbol{r}}}{|\dot{\boldsymbol{r}}|}
\end{equation}は、接線の向きで大きさが1、「単位接線ベクトル」と呼ばれるものです。

さて、いま掲げている変数 $t$ は「時間」としていますが、数学的には単なる媒介変数です。時間でなくともよいです。
運動の軌道に沿った長さを $s$ とし、位置 $\boldsymbol{r}$ は $s$ の関数として
\begin{equation}
\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(s)
\end{equation}とします。
微小区間 $\Delta s$ における位置の変化は
\begin{equation}
\Delta \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(s +\Delta s) -\boldsymbol{r}(s)
\end{equation}です。
$\Delta s \to 0$ とすると、 $\Delta \boldsymbol{r}$ の大きさは $\Delta s$ と等しくなります。
\begin{equation}
\lim_{\Delta s \to 0} \frac{|\Delta \boldsymbol{r}|}{\Delta s} = 1
\end{equation}また、 $\Delta s \to 0$ とすると $\displaystyle \frac{\Delta \boldsymbol{r}}{\Delta s}$ は接線ベクトルです。
したがって、
\begin{equation}
\boldsymbol{t}(s) = \frac{d\boldsymbol{r}(s)}{ds}
\end{equation}は単位接線ベクトルです。

これより、
\begin{equation}
\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} = \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} \frac{ds}{dt} = v \boldsymbol{t}(s)
\end{equation}となります。ここで
\begin{equation}
v = \frac{ds}{dt}
\end{equation}は「速さ」で、「速度」は
\begin{equation}
\boldsymbol{v} = v \boldsymbol{t}
\end{equation}と表すことができます。速さと単位接線ベクトルの積です。
なお、「速さ」は大きさだけのスカラー量で、「速度」は向きと大きさを持つベクトル量です。

*1:直線上を動いている場合は、その直線に平行な向きです。