\begin{equation}
r = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2}
\end{equation}のとき
\begin{equation}
\nabla \left( \frac{1}{r} \right) = -\frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \tag{2}
\end{equation}
は、それぞれ直交座標系の軸方向の単位ベクトルとします。
また、
\begin{eqnarray}
r &=& |\boldsymbol{r}| = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2} \\
\boldsymbol{r} &=& x \, \boldsymbol{i} +y \, \boldsymbol{j} +z \, \boldsymbol{k}
\end{eqnarray}です。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{r} &=& \frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}} \\
&=& -\frac{2x}{2(x^2 +y^2 +z^2)^{3/2}} \\
&=& -\frac{x}{r^3}
\end{eqnarray}です。同様に
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial y} \frac{1}{r} &=& -\frac{y}{r^3} \\
\frac{\partial}{\partial z} \frac{1}{r} &=& -\frac{z}{r^3}
\end{eqnarray}です。
したがって、
\begin{eqnarray}
\nabla \left( \frac{1}{r} \right) &=& -\frac{x}{r^3} \, \boldsymbol{i} -\frac{y}{r^3} \, \boldsymbol{j} -\frac{z}{r^3} \, \boldsymbol{k} \\
&=& -\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}
\end{eqnarray}となります。
座標原点から質点に向かう方向の単位ベクトルに、距離の2乗に反比例する係数がかかっています。
3次元の極座標系(球座標系)で考えると、勾配は
\begin{equation}
\nabla \left( \frac{1}{r} \right) = \boldsymbol{e}_r \, \frac{\partial}{\partial r} \frac{1}{r} + \boldsymbol{e}_\theta \, \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \frac{1}{r} + \boldsymbol{e}_\phi \, \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \frac{1}{r} \\
\end{equation}です。はそれぞれが増える方向の単位ベクトルです。
3次元球座標系の勾配 ~ 行列的アプローチ - 数式で独楽する
今、はには無関係なので
\begin{equation}
\nabla \left( \frac{1}{r} \right) = -\frac{1}{r^2} \, \boldsymbol{e}_r = -\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}
\end{equation}となります。