曲線上の微小な長さにおける単位接線ベクトル
の変化を考えます。
単位接線ベクトル - 数式で独楽する
\begin{equation}
\Delta \boldsymbol{t} = \boldsymbol{t}(s +\Delta s) -\boldsymbol{t}(s)
\end{equation}で、と
のなす角を
とします。
は、単位接線ベクトル
の向きを表します。無次元のパラメータです。
と
の関係ですが、
\begin{equation}
\frac{|\Delta \boldsymbol{t}|}{2} = \sin \frac{\Delta \theta}{2}
\end{equation}となっています。
が非常に小さければ、
\begin{equation}
\sin \frac{\Delta \theta}{2} \approx \frac{\Delta \theta}{2}
\end{equation}とできるので、
\begin{equation}
|\Delta \boldsymbol{t}| = \Delta \theta
\end{equation}とできます。
つまり
\begin{equation}
\left| \frac{d\boldsymbol{t}}{d\theta} \right| = \lim_{\Delta \theta \to 0} \left| \frac{\Delta \boldsymbol{t}}{\Delta \theta} \right| = 1
\end{equation}なので、は単位ベクトルです。
単位接線ベクトルについて、
\begin{equation}
|\boldsymbol{t}|^2 = \boldsymbol{t} \cdot \boldsymbol{t} =1
\end{equation}なので、で微分すると
\begin{equation}
\boldsymbol{t} \cdot \frac{d\boldsymbol{t}}{d\theta} = 0
\end{equation}となります。
\begin{equation}
\boldsymbol{n} = \frac{d\boldsymbol{t}}{d\theta}
\end{equation}は単位接線ベクトルと垂直であり、これを「主法線ベクトル」といいます。
また、単位接線ベクトルの変化
\begin{equation}
\frac{d\boldsymbol{t}}{ds} = \frac{d\theta}{ds} \frac{d\boldsymbol{t}}{d\theta} = \kappa \boldsymbol{n} = \frac{1}{\rho} \, \boldsymbol{n}
\end{equation}は曲率中心を向いています。
なお、はそれぞれ曲率と曲率半径です。
曲率と曲率半径 - 数式で独楽する
