次の式の分母を有理化し、分母に3乗根の根号が含まれない式として表せ。
\begin{equation}
\frac{55}{2 \sqrt[3]{9} +\sqrt[3]{3} +5}
\end{equation}
解答例
とし、
が
に依らなくなるような実数
を求めます。
\begin{eqnarray}
(2x^2 +x +5)(x^2 +ax +b)
&=& 2bx^2 +6x +6a \\
&& +ax^2 +bx +3 \\
&& +5x^2 +5ax +5b \\
&=& (a +2b +5)x^2 +(5a +b +6)x +(6a +5b +3) \tag{1}
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
a +2b +5 &=& 0 \tag{2} \\
5a +b +6 &=& 0 \tag{3}
\end{eqnarray}を満たすを求めます。
式(2), (3)よりを消去し、
\begin{eqnarray}
9a +7 &=& 0 \\
a &=& -\frac{7}{9} \tag{4}
\end{eqnarray}を得ます。式(3)に代入し、
\begin{equation}
b = -\frac{19}{9} \tag{5}
\end{equation}を得ます。
このとき、式(1), (4), (5)より
\begin{equation}
(2x^2 +x +5) \left( x^2 -\frac{7}{9} \, x l\frac{19}{9} \right) = -\frac{110}{9}
\end{equation}となります。分母を払って
\begin{equation}
(2x^2 +x +5)(9x^2 -7x -19) = -110
\end{equation}としておきます。
以上より、
\begin{eqnarray}
\frac{55}{2 \sqrt[3]{9} +\sqrt[3]{3} +5}
&=& \frac{55}{2x^2 +x +5} \\
&=& \frac{55(9x^2 -7x -19)}{(2x2 +x +5)(9x^2 -7x -19)} \\
&=& -\frac{55}{110} \, (9x^2 -7x -19) \\
&=& -\frac{9 \sqrt[3]{9} -7 \sqrt[3]{3} -19}{2}
\end{eqnarray}となります。
解説
平方根の場合は
\begin{equation}
(a +b)(a -b) = a^2 -b^2
\end{equation}という魔法の杖がありますが、立方根の場合はそうはいかないのがつらい所です。
本問ではたまたまだったわけですが、そうでない場合は更に悩ましくなることでしょう。
