2000年前期 京大 理系 第5問

数列を次の式で定める。

\begin{equation}
c_n = (n +1) \int_0^1 x^n \cos \pi x \, dx \quad (n = 1,2, \cdots)
\end{equation}このとき、

(1) との関係を求めよ。

(2) を求めよ。

(3) (2)で求めた極限値をとするとき、を求めよ。

小問(1)の解答例

\begin{eqnarray}
c_{n +2} &=& (n +3) \int_0^1 x^{n +2} \cos \pi x\, dx \\
&=& \frac{n +3}{\pi} \biggl[ x^{n +2} \sin \pi x \biggr]_0^1 -\frac{(n +3)(n +2)}{\pi} \int_0^1 x^{n +1} \sin \pi x \, dx \\
&=& 0 +\frac{(n +3)(n +2)}{\pi^2} \biggl[ x^{n +1} \cos \pi x \biggr]_0^1 -\frac{(n +3)(n +2)(n +1)}{\pi^2} \int_0^1 x^n \cos \pi x \, dx \\
&=& -\frac{(n +3)(n +2)}{\pi^2} \, (1 +c_n)
\end{eqnarray}
定積分の部分積分 - 数式で独楽する

小問(2)の解答例

積分区間は[0, 1]なので、
\begin{eqnarray}
|c_n| &=& (n +1) \left| \int_0^1 x^n \cos \pi x \, dx \right| \\
& \leqq & (n +1) \left| \int_0^1 x^n \, dx \right| \\
&=& (n +1) \left| \left[ \frac{1}{n +1} \, x^{n +1} \right]_0^1 \right| \\
&=& 1
\end{eqnarray}です。

一方、小問(1)の結果から
\begin{equation}
0 \leqq |1 +c_n| = \frac{\pi^2}{(n +3)(n +2)} \, |c_{n +2}| \leqq \frac{\pi^2}{(n +3)(n +2)}
\end{equation}が成り立ちます。

\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} = \frac{\pi^2}{(n +3)(n +2)} = 0
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} |1 +c_n| = 0
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} c_n = -1
\end{equation}となります。
数列の極限 その2 はさみうちの原理 - 数式で独楽する

小問(3)の解答例

小問(1), (2)の結果を用いると、
\begin{eqnarray}
\frac{c_{n +1} -c}{c_n -c} &=& \frac{c_{n +1} +1}{c_n +1} \\
&=& \cfrac{-\cfrac{\pi^2}{(n +4)(n +3)} \, c_{n +3}}{-\cfrac{\pi^2}{(n +3)(n +2)} \, c_{n +2}} \\
&=& \frac{n +2}{n +4} \frac{c_{n +3}}{c_{n +2}} \\
&=& \cfrac{1 +\cfrac{2}{n}}{1 +\cfrac{4}{n}} \frac{c_{n +3}}{c_{n +2}}
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} \frac{c_{n +1} -c}{c_n -c} &=& \lim_{n \to \infty} \cfrac{1 +\cfrac{2}{n}}{1 +\cfrac{4}{n}} \frac{c_{n +3}}{c_{n +2}} \\
&=& \frac{1}{1} \frac{-1}{-1} \\
&=& 1
\end{eqnarray}となります。

解説

小問(1)は部分積分を用いると容易に求められます。
小問(2)は小問(1)の結果を用いることになります。数列の絶対値の範囲を押さえ、はさみうちの原理を用いるところがイレギュラーで、ハードルが高いです。
小問(3)は0/0の形の極限で、慣れた手筋で求めることになります。