両端を座標軸に固定した線分の包絡線その1

本稿では、直交座標系において長さ1の線分の両端をそれぞれ $x$ 軸、 $y$ 軸に固定した条件で動かしてできる包絡線を求めていきます。

両端をP $(p,0)$ , Q $(0,q)$ とすると、線分PQの式は
\begin{eqnarray}
\frac{x}{p} +\frac{y}{q} &=& 1 \tag{1} \\
p^2 +q^2 &=& 1 \tag{2}
\end{eqnarray}で表すことができます。
なお、

$p = 0$ のとき、 $x = 0$
$q = 0$ のとき、 $y = 0$

とします。

包絡線を求めるにあたって、いくつか考え方があります。
両端を座標軸に固定した線分の包絡線その2 - 数式で独楽する

ここでは、 $(p,q)$ を変化させた際、当該の線分PQのみが通過する点の座標を考えていきます。 $(p,q)$ を固定したときの線分PQを含む直線を $l_p$ とします。
$(p,q)$ を $(p +\Delta p, \ q +\Delta q), \ (p -\Delta p, \ q -\Delta q)$ としたとき、 $l_p$ のみが通過する領域を考えます。なお、 $\Delta p > 0$ であれば $\Delta q < 0$ です。

$p \ne 0$ ととき、直線 $l_p, \ l_{l +\Delta p}, \ l_{p -\Delta p}$ の式は次の通りです。
\begin{eqnarray}
l_p &:& y = -\frac{q}{p} \, x +q \tag{3} \\
l_{p +\Delta p} &:& y = -\frac{q +\Delta q}{p +\Delta p} \, x +(q +\Delta q) \tag{4} \\
l_{p -\Delta p} &:& y = -\frac{q -\Delta q}{p -\Delta p} \, x +(q -\Delta q) \tag{5}
\end{eqnarray}

$p > 0, \ q > 0$ の場合
$l_p$ が $l_{p +\Delta p}$ の上部になる領域を求めます。
式(3), (4)より、
\begin{eqnarray}
-\frac{q}{p} \, x +q &>& -\frac{q +\Delta q}{p +\Delta p} \, x +(q +\Delta q) \\
-(p +\Delta p)qx &>& -p(q +\Delta q)x +p(p +\Delta p) \Delta q \\
(p \Delta q -q \Delta p)x &>& p^2 \Delta q +p \Delta p \Delta q
\end{eqnarray} $p \Delta q -q \Delta p < 0$ なので、
\begin{eqnarray}
x &<& \frac{p^2 \Delta q +p \Delta p \Delta q}{p \Delta q -q \Delta p} \\
&=& \cfrac{p^2 \cdot \cfrac{\Delta q}{\Delta p} +p \Delta q}{p \cdot \cfrac{\Delta q}{\Delta p} -q} \tag{6}
\end{eqnarray}となります。
同様に、 $l_p$ が $l_{p -\Delta p}$ の上部になる領域を求めます。
式(3), (5)より
\begin{eqnarray}
-\frac{q}{p} \, x +q &>& -\frac{q -\Delta q}{p -\Delta p} \, x +(q -\Delta q) \\
-(p -\Delta p)qx &>& -p(q -\Delta q)x -p(p -\Delta p) \Delta q \\
(-p \Delta q +q \Delta p)x &>& -p^2 \Delta q +p \Delta p \Delta q
\end{eqnarray} $p \Delta q -q \Delta p < 0$ なので、
\begin{eqnarray}
x &>& \frac{-p^2 \Delta q +p \Delta p \Delta q}{-p \Delta q +q \Delta p} \\
&=& \cfrac{-p^2 \cdot \cfrac{\Delta q}{\Delta p} +p \Delta q}{-p \cdot \cfrac{\Delta q}{\Delta p} +q} \tag{7}
\end{eqnarray}となります。

式(6), (7)をまとめて、 $l_p$ が上部となる領域
\begin{equation}
\cfrac{-p^2 \cdot \cfrac{\Delta q}{\Delta p} +p \Delta q}{-p \cdot \cfrac{\Delta q}{\Delta p} +q} < x < \cfrac{p^2 \cdot \cfrac{\Delta q}{\Delta p} +p \Delta q}{p \cdot \cfrac{\Delta q}{\Delta p} -q}
\end{equation}を得ます。

ここで、 $\Delta p \to 0$ とすると、 $l_p$ のみが通過する点が得られます。なお、必然的に $\Delta q \to 0$ です。
式(2)より
\begin{eqnarray}
p^2 +q^2 &=& 1 \\
(p +\Delta p)^2 +(q +\Delta q)^2 &=& 1
\end{eqnarray}が成り立ちます。辺々相引くと
\begin{equation}
2p \Delta p +2q \Delta q +(\Delta p)^2 +(\Delta q)^2 = 0
\end{equation}となります。整理して
\begin{equation}
\frac{\Delta q}{\Delta p} \left( 1 +\frac{\Delta q}{2} \right) = -\left( \frac{p}{q} +\frac{\Delta p}{2} \right)
\end{equation}を得ます。
$\Delta p \to 0, \ \Delta q \to 0$ のとき
\begin{equation}
\frac{\Delta q}{\Delta p} \to \frac{d q}{dp}
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
\frac{\Delta q}{\Delta p} \to \frac{d q}{dp} = -\frac{p}{q}
\end{equation}となります。
したがって、
\begin{eqnarray}
\cfrac{-p^2 \cdot \cfrac{\Delta q}{\Delta p} +p \Delta q}{-p \cdot \cfrac{\Delta q}{\Delta p} +q} & \to & \cfrac{p^2 \cdot \cfrac{p}{q}}{q +p \cdot \cfrac{p}{q}} \\
&=& \frac{p^3}{q^2 +p^2} \\
&=& p^3 \\
\cfrac{p^2 \cdot \cfrac{\Delta q}{\Delta p} +p \Delta q}{p \cdot \cfrac{\Delta q}{\Delta p} -q} & \to & \cfrac{-p^2 \cdot \cfrac{p}{q}}{-q -p \cdot \cfrac{p}{q}} \\
&=& \frac{p^3}{q^2 +p^2} \\
&=& p^3
\end{eqnarray}を得ます。
はさみうちの原理により、
関数の極限はさみうちの原理 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\lim_{\Delta p \to 0} x = p^3
\end{equation}となります。