包絡線とは曲線族と接線を共有する曲線をいいます。
例えば、媒介変数を用いて
\begin{equation}
f(x_1, x_2, \cdots, x_n, t) = 0 \tag{1}
\end{equation}で表される曲線において、を変化させて現れる曲線全てに接する曲線をいいます。
包絡線は、
\begin{equation}
f_t (x_1, x_2, \cdots, x_n, t) = 0 \tag{2}
\end{equation}と曲線族の式(1)より媒介変数を消去すると得られます。なお、添字の
は
で偏微分したことを表します。
偏微分 - 数式で独楽する
見ていきましょう。
媒介変数を固定した曲線と、求める包絡線の接点をP
とします。
この点Pは曲線上の点なので、
\begin{equation}
f \left( x_1 (t), x_2 (t), \cdots, x_n (t), t \right) = 0 \tag{3}
\end{equation}が成り立ちます。
媒介変数を変化させていくと、点Pは包絡線上を動いていきます。
\begin{equation}
\frac{d\boldsymbol{x}}{dt} = \left( \frac{dx_1}{dt}, \ \frac{dx_2}{dt}, \ \cdots, \ \frac{dx_n}{dt} \right) \tag{4}
\end{equation}は、包絡線の接線ベクトルです。
単位接線ベクトル - 数式で独楽する
また、
\begin{eqnarray}
\nabla f &=& \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \ \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ \cdots, \ \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)
&=& \left( f_{x_1}, f_{x_2}, \cdots, f_{x_n} \right) \tag{5}
\end{eqnarray}は式(1)の法線ベクトルとなっています。
勾配の持つ意味 - 数式で独楽する
接線ベクトルと法線ベクトルは直交することから、式(4), (5)より、
\begin{equation}
f_{x_1} \frac{dx_1}{dt} + f_{x_2} \frac{dx_2}{dt} +\cdots +f_{x_n} \frac{dx_n}{dt} = 0 \tag{6}
\end{equation}が成り立ちます。
一方、式(3)を媒介変数で微分すると、
\begin{equation}
f_{x_1} \frac{dx_1}{dt} + f_{x_2} \frac{dx_2}{dt} +\cdots +f_{x_n} \frac{dx_n}{dt} +f_t = 0 \tag{7}
\end{equation}となります。
式(6), (7)より、
\begin{equation}
f_t = 0 \tag{2}
\end{equation}を得ます。
ということで、式(1), (2)より媒介変数を消去して包絡線の式を得ることができるのです。
変数が2つの場合、を
とすればよいです。
