関数が
としたときに
に収束することを
\begin{equation}
\lim_{x \to a} f(x) = b
\end{equation}で表します。
実数
を限りなく
に近付けると、
は限りなく
に近付く
ということですが、厳密さが要求される場合、こういう表現をします。
任意の
に対し、ある
が存在し、全ての
を満たす
に対して
\begin{equation}
|f(x) - b| < \epsilon
\end{equation}が成り立つ
記号では次のように書きます。
\begin{equation}
\forall \epsilon > 0, \, \exists \delta > 0 \ \mathrm{s.t.} \ \forall x \in \mathbb{R} \, [ |x -a| < \delta \Rightarrow |f(x) - b| < \epsilon ]
\end{equation}
式中、
は「全ての」「任意の」、
は「存在する」
を意味します。それぞれallとexistsを記号化しています。
また、s.t.はsuch thatの略です。
「は任意の正の数」というのがミソです。
をいくら小さくしても対応する
が存在するということで、
極限を定量的に表現しています。
具体例
関数について
\begin{equation}
f(x) < h(x) < g(x) \tag{1}
\end{equation}なる関係が全て実数に対して成り立ち、
\begin{equation}
\lim_{x \to a} f(x) = b, \quad \lim_{x \to a} g(x) = b \tag{2}
\end{equation}となる場合、
\begin{equation}
\lim_{x \to a} h(x) = b
\end{equation}であることを確かめます。
式(2)より、
\begin{equation}
\forall \epsilon > 0, \, \exists \delta > 0 \ \mathrm{s.t.} \ \forall x \in \mathbb{R} \ [ |x -a| < \delta \Rightarrow |f(x) - b| < \epsilon, \, |g(x) -b| < \epsilon]
\end{equation}です。で
\begin{eqnarray}
- \epsilon &<& f(x) -b &<& \epsilon \\
- \epsilon &<& g(x) -b &<& \epsilon
\end{eqnarray}の両方を満たすが存在します。
また、式(1)より、
\begin{equation}
b - \epsilon < f(x) < h(x) < g(x) < b + \epsilon
\end{equation}
が成り立ちます。
つまり、で
\begin{equation}
|h(x) - b| < \epsilon
\end{equation}が成り立ちます。
\begin{equation}
\forall \epsilon, \, \exists \delta > 0 , \ \mathrm{s.t.} \, \forall x \in \mathbb{R}\ \left[ |x -a| < \delta| \Rightarrow | h(x) - b | < \epsilon \right]
\end{equation}ということです。
したがって、
\begin{equation}
\lim_{x \to a} f(x) = b, \quad \lim_{x \to a} g(x) = b
\end{equation}かつ
\begin{equation}
f(x) < h(x) < g(x)
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\lim_{x \to a} h(x) = b
\end{equation}となります。
これを「はさみうちの原理」といいます。
