はじめに
ハイカードまたはノーペアまたはノーハンドは、
- 役がない
ということです。
- ブタ
とも呼ばれます。こちらの方が馴染み深いでしょう。
組合せを見ていきましょう。
役になる組合せを、丁寧に排除する必要があります。
数字の組合せ
13種類の数字から異なる5種類を選びます。
これで、数字が重なる役を全て排除できます。
組合せは、
\begin{equation}
{}_{13}C_5=1287
\end{equation}通りです。
ただし。
この中には、ストレートになる組合せが含まれています。
その分が10通り。
したがって、数字の組合せは、
\begin{equation}
{}_{13}C_5-10=1277
\end{equation}通りとなります。
スートの組合せ
5枚の数字それぞれにつき4通りずつあります。
つまり、スートの組合せは、
\begin{equation}
4^5=1024
\end{equation}通りとなります。
ただし。
5枚のスートが揃うと、フラッシュになります。その分を除きます。
その数、4通りです。
したがって、スートの組合せは、
\begin{equation}
4^5-4=1020
\end{equation}通りとなります。
まとめ
以上より、ハイカードの組合せは、
\begin{equation}
({}_{13}C_5-10)\times (4^5-4)=1302540
\end{equation}通りとなります。
検算
ハイカードの組合せが上述の通り算出できました。
この求め方で、ストレートフラッシュも除外できているのでしょうか？
- 数字の組合せからストレートを、
- スートの組合せからフラッシュを、
それぞれ省いています。
なので、ストレートフラッシュも一緒に取り除かれているように見えます。
検算してみましょう。
先ほど、ハイカードの組合せは、
\begin{equation}
HC=({}_{13}C_5-10)\times (4^5-4)
\end{equation}と求めました。
一方、5枚とも数字が異なる組合せをとすると
\begin{equation}
DF={}_{13}C_5\times 4^5
\end{equation}
ストレートの組合せは
\begin{eqnarray}
ST &=& 10\times (4^5-4) \\
&=& 10\times 4^5-40
\end{eqnarray}
フラッシュの組合せは
\begin{eqnarray}
FL &=& ({}_{13}C_5-10)\times 4 \\
&=& {}_{13}C_5\times 4-40
\end{eqnarray}
ストレートフラッシュの組合せは
\begin{equation}
SF=40
\end{equation}なので、
\begin{equation}
HC=DF-ST-FL-SF
\end{equation}であることを示せばよいことになります。
みてみましょう。
式を展開していきます。
\begin{eqnarray}
HC &=& ({}_{13}C_5-10)\times (4^5-4) \\
&=& {}_{13}C_5\times 4^5-{}_{13}C_5 \times 4 -10\times 4^5+40 \\
&=& {}_{13}C_5\times 4^5-{}_{13}C_5 \times 4 \underline{+40} -10\times 4^5+40 \underline{-40} \\
&=& {}_{13}C_5\times 4^5-({}_{13}C_5 \times 4-40) -(10\times 4^5-40)-40 \\
&=& DF-ST-FL-SF
\end{eqnarray}
途中、下線を引いた箇所で40を加えて引いています。
\begin{equation}
HC=DF-ST-FL-SF
\end{equation}であることを示すことができました。
再掲まとめ
よって、ハイカードの組合せは、
\begin{equation}
({}_{13}C_5-10)\times (4^5-4)=1302540
\end{equation}通りとなります。
