2002年前期京大文系第5問 - 数式で独楽する

4個の整数 $1,a,b,c$ は $1 < a < b < c$ を満たしている。これらの中から相異なる2個を取り出して和を作ると、 $1 +a$ から $b +c$ までのすべての整数の値が得られるという。 $a,b,c$ の値を求めよ。

解答例
解説

解答例

$1 < a < b < c$ なので、
\begin{eqnarray}
1 +a &<& 1 +b &<& 1 +c \\
a +b &<& a +c &<& b +c \\
1 +b &<& a +b \\
1 +c &<& a +c
\end{eqnarray}が成り立っています。
以下、
\begin{eqnarray}
n_1 &=& 1 +a \\
n_2 &=& 1 +b \\
n_3 &=& 1 +c \\
n_4 &=& a +b \\
n_5 &=& a +c \\
n_6 &=& b +c
\end{eqnarray}とします。
与えられた条件により $n_1 +1 = n_2$ なので、
\begin{equation}
b = a +1 \tag{1}
\end{equation}となります。
このとき、 $n_5 +1 = n_6$ となります。
また、
\begin{eqnarray}
n_1 &=& 1 +a \\
n_2 &=& 2 +a \\
n_3 &=& 1 +c \\
n_4 &=& 1 +2a \\
n_5 &=& a +c \\
n_6 &=& 1 +a +c
\end{eqnarray}です。

(i) $\boldsymbol{n_3 +1 = n_4}$ の場合
\begin{equation}
2 +c = 1 +2a
\end{equation}なので
\begin{equation}
c = 2a -1 \tag{2}
\end{equation}です。
$n_2 +1 = n_3$ より、
\begin{equation}
3 +a = 2a
\end{equation}です。式(1), (2)を踏まえて
\begin{equation}
(a,b,c) = (3,4,5)
\end{equation}を得ます。
このとき
\begin{equation}
(n_1, n_2, n_3, n_4, n_5, n_6) = (4,5,6,7,8,9)
\end{equation}です。

(ii) $\boldsymbol{n_3 = n_4 +1}$ の場合
\begin{equation}
1 +c = 2 +2a
\end{equation}なので
\begin{equation}
c = 2a +1 \tag{3}
\end{equation}です。
$n_2 +1 = n_4$ より、
\begin{equation}
3 +a = 1 +2a
\end{equation}です。式(1), (3)を踏まえて
\begin{equation}
(a,b,c) = (2,3,5)
\end{equation}を得ます。
このとき
\begin{equation}
(n_1, n_2, n_3, n_4, n_5, n_6) = (3,4,6,5,7,8)
\end{equation}です。

(iii) $\boldsymbol{n_3 = n_4}$ の場合
\begin{equation}
1 +c = 1 +2a
\end{equation}なので
\begin{equation}
c = 2a \tag{4}
\end{equation}です。
$n_2 +1 = n_4$ より、
\begin{equation}
3 +a = 1 +2a
\end{equation}です。式(1), (4)を踏まえて
\begin{equation}
(a,b,c) = (2,3,4)
\end{equation}を得ます。
このとき
\begin{equation}
(n_1, n_2, n_3, n_4, n_5, n_6) = (3,4,5,5,6,7)
\end{equation}です。
こちらも題意を満たしています。

まとめ
以上より、該当するのは
\begin{eqnarray}
(a,b,c) &=& (3,4,5), \\
&& (2,3,5), \\
&& (2,3,4)
\end{eqnarray}です。

解説

組合せは6通りできます。大小関係は
\begin{array}{ccccccc}
1 +a & < & 1 +b & < & 1 +c \\
&& \wedge && \wedge \\
&& a +b & < & a +c & < & b +c
\end{array}です。
$1 +c, \ a +b$ の大小が定まっていないので、ここで場合分けすることになります。
$1 +b$ の次がどの数になるかで分けても本質的に同じです。
高校生の知識がなくても解けそうです。