自然数の2乗の和 - 数式で独楽する

1から $n$ までの自然数の2乗の和 $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2$ を求めていきます。

まず、見ていくのは次の式です。
\begin{equation}
(k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1
\end{equation}和の3乗を展開した式です。

両辺から $k^3$ を引いてみます。
\begin{equation}
(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1
\end{equation}
この式において、
\begin{equation}
k=1,2,\cdots ,n
\end{equation}とし、辺々相加えます。
\begin{equation}
(n+1)^3-1=3 \sum_{k=1}^n k^2 +3 \sum_{k=1}^n k +n
\end{equation}です。

自然数の和 - 数式で独楽する
で求めた
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k = \frac{1}{2} n(n+1)
\end{equation}を用いて式を整理していきます。
\begin{eqnarray}
(n+1)^3-1 &=& 3 \sum_{k=1}^n k^2 + 3\cdot \frac{1}{2} n(n+1)+n \\
n^3+3n^2+3n+1-1 &=& 3 \sum_{k=1}^n k^2 + \frac{3}{2} (n^2+n)+n \\
n^3+3n^2+3n &=& 3 \sum_{k=1}^n k^2 + \frac{3}{2} (n^2+n) +n \\
2n^3+6n^2+6n &=& 6 \sum_{k=1}^n k^2 +3n^2+3n+2n \\
6 \sum_{k=1}^n k^2 &=& 2n^3+3n^2+n \\
&=& n(2n^2+3n+1) \\
&=& n(n+1)(2n+1)
\end{eqnarray}

ゆえに、
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)
\end{equation}となります。