まず、こちらを見てください。
\begin{equation}
(1+2+ \cdots +n)^2=1^3+2^3+ \cdots +n^3
\end{equation}
1からnまでの和の2乗が、1の3乗からの3乗までの和に等しいと主張しています。
本当かどうか見ていきましょう。
1からまでの自然数の3乗の和
を求めていきます。
次の式を見ていきます。
\begin{equation}
(k+1)^4=k^4+4k^3+6k^2+4k+1
\end{equation}
和の4乗を展開した式です。
両辺からを引いてみます。
\begin{equation}
(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1
\end{equation}
この式において、
\begin{equation}
k=1,2,\cdots ,n
\end{equation}とし、辺々相加えます。
\begin{equation}
(n+1)^4-1=4\sum_{k=1}^n k^3+6 \sum_{k=1}^n k^2 +4 \sum_{k=1}^n k +n
\end{equation}です。
自然数の和 - 数式で独楽する
自然数の2乗の和 - 数式で独楽する
で求めた
\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^n k &=& \frac{1}{2} n(n+1) \\
\sum_{k=1}^n k^2 &=& \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)
\end{eqnarray}
を用いて式を整理していきます。
\begin{eqnarray}
(n+1)^4-1 &=& 4\sum_{k=1}^n k^3 + 6\cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) + 4\cdot \frac{1}{2} n(n+1)+n \\
n^4+4n^3+6n^2+4n+1-1 &=& 4\sum_{k=1}^n k^3 + n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n \\
n^4+4n^3+6n^2+4n &=& 4\sum_{k=1}^n k^3 + n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n \\
4\sum_{k=1}^n k^3 &=& n^4+4n^3+6n^2+4n - n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-n \\
&=& n^4+4n^3+6n^2+3n - n(n+1)(2n+1)-2n(n+1) \\
&=& n \left[ n^3+4n^2+6n+3 - (2n^2+3n-1)-(2n+2) \right] \\
&=& n(n^3+2n^2+n) \\
&=& n^2(n^2+2n+1) \\
&=& n^2(n+1)^2
\end{eqnarray}
ゆえに、
\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^n k^3 &=& \frac{1}{4} n^2(n+1)^2 \\
&=& \left( \frac{1}{2} n(n+1) \right) ^2
\end{eqnarray}
となります。
式の左辺は
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k^3 = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3
\end{equation}
右辺は
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} n(n+1) &=& \sum_{k=1}^n k \\
&=& 1+2+\cdots +n
\end{eqnarray}
であるので、
\begin{equation}
1^3 + 2^3 + \cdots +n^3 = (1+2+\cdots +n)^2
\end{equation}となります。
