京大 2013年前期理系第2問 - 数式で独楽する

$N$ を2以上の自然数とし、 $a_n \ (n=1,2, \cdots)$ を次の性質をみたす数列とする。

(i) $a_1 = 2^N -3$
(ii) $n=1,2, \cdots$ に対して、

$a_n$ が偶数のとき $a_{n+1} = \displaystyle \frac{a_n}{2}$ 、
$a_n$ が奇数のとき $a_{n+1} = \displaystyle \frac{a_n -1}{2}$

このときどのような自然数 $M$ に対しても
\begin{equation}
\sum_{n=1}^M a_n \leqq 2^{N+1} -N -5
\end{equation}が成り立つことを示せ。

設問に示す定義により、
\begin{eqnarray}
a_1 &=& 2^N -3 \\
a_2 &=& 2^{N -1} -2 \\
a_3 &=& 2^{N -2} -1 \\
a_4 &=& 2^{N -3} -1 \\
&\vdots & \\
a_{N -1} &=& 2^2 -1 =3\\
a_N &=& 2^1 -1 =1 \\
a_k &=& 0 & (k = N+1, \, N+2, \cdots)
\end{eqnarray}です。

$M \geqq N$ の場合、辺々相加えて
\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^M &=& 2(2^N -1) -5 -(N -2) \\
&=& 2^{N+1} -N -5
\end{eqnarray}となります。

$M < N$ の場合、 $a_n > 0 \ (n=1, \cdots , M)$ なので、
\begin{equation}
\sum_{n=1}^M a_n < 2^{N+1} -N -5
\end{equation}です。

以上をまとめると、全ての自然数 $M$ に対して
\begin{equation}
\sum_{n=1}^M a_n \leqq 2^{N+1} -N -5
\end{equation}が成り立ちます。(証明終り)

解説

定義より、
\begin{equation}
a_1 > a_2 > a_3 > a_4 > \cdots > a_{N -1}=3 > a_N =1 > a_{N+1} =0
\end{equation}で、それ以降は0となります。
そのことに気付けば、高々 $N$ 項の等比数列の和を出せば求められます。