本稿では、
- 第2余弦定理
について見ていきます。
三角形の1辺の長さは、相対する角の大きさと他の2辺の長さで表せる
というものです。すなわち、
三角形ABCにおいて、頂点A, B, Cに相対する辺の長さをそれぞれとするとき、
\begin{equation}
a^2=b^2+c^2-2bc \cos A
\end{equation}となるというものです。
他の辺についても、文字を順繰りに入れ替えれば示すことができます。
第2余弦定理 - 数式で独楽する
図の三角形ABCにおいて、頂点Cから辺ABに下ろした垂線の足をHとします。
三角形HBCにおいて、三平方の定理により
\begin{equation}
\mathrm{BC}^2 = \mathrm{HB}^2 +\mathrm{HC}^2 \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。
三平方の定理 - 数式で独楽する
一方、
\begin{eqnarray}
\mathrm{BC} &=& a \\
\mathrm{HB} &=& c - b \cos A \\
\mathrm{HC} &=& b \sin A
\end{eqnarray}です。
これらを式(1)に代入します。
\begin{eqnarray}
a^2 &=& (c -b\cos A)^2 + (b\sin A)^2 \\
&=& c^2 -2bc \cos A +b^2 \cos^2 A +b^2 \sin^2 A
\end{eqnarray}となります。
ここで、
\begin{equation}
\cos^2 A +\sin^2 A = 1
\end{equation}なので、
三角関数・2乗の和 - 数式で独楽する
\begin{equation}
a^2 = b^2 +c^2 -2bc \cos A
\end{equation}を得ます。
