三角形の面積を3辺の長さで表せる
というものです。
三角形の3辺の長さをa, b, cとすると、面積Sは
\begin{eqnarray}
S &=& \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
&& \because s = \frac{a+b+c}{2}
\end{eqnarray}となります。
では、見ていきましょう。
まず、三角形の面積は、
(底辺)×(高さ)÷2
です。底辺をa、高さをhとすると、面積Sは
\begin{equation}
S = \frac{1}{2} ah
\end{equation}です。
ここから、三角関数の公式や因数分解を駆使して、強引に3辺の長さで表していくのです。
高さ(垂辺)は斜辺と正弦で表せます。
\begin{equation}
h = b \sin C
\end{equation}です。よって、
\begin{equation}
S = \frac{1}{2} ab \sin C
\end{equation}となります。
さて、ここで、
第2余弦定理 - 数式で独楽する
を思い出してみましょう。
\begin{equation}
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
\end{equation}です。余弦は、
\begin{equation}
\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
\end{equation}となり、3辺の長さで表せます。
ですので、
\begin{equation}
\cos ^2 C + \sin ^2 C =1
\end{equation}を用いて、正弦を余弦に変換します。
\begin{equation}
\sin C = \sqrt{1- \cos ^2 C}
\end{equation}なので、
\begin{equation}
S = \frac{1}{2} ab \sqrt{1- \cos ^2 C}
\end{equation}となります。
ここで、因数分解
\begin{equation}
p^2-q^2=(p+q)(p-q)
\end{equation}を用います。
\begin{equation}
S = \frac{1}{2} ab \sqrt{(1 + \cos C)(1 - \cos C)}
\end{equation}となります。
ここで先程の第2余弦定理、
\begin{equation}\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
\end{equation}が登場します。
\begin{equation}
S = \frac{1}{2} ab \sqrt{\left( 1 + \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) \left( 1 - \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) }
\end{equation}となります。
分数を計算して、因数分解
\begin{equation}
a^2 \pm 2ab +b^2 = (a \pm b)^2
\end{equation}を用います。
\begin{eqnarray}
S &=& \frac{1}{2} ab \sqrt{\frac{a^2+2ab+b^2-c^2}{2ab} \cdot \frac{-(a^2-2ab+b^2-c^2)}{2ab}} \\
&=& \frac{1}{2} ab \sqrt{\frac{(a+b)^2-c^2}{2ab} \cdot \frac{-(a-b)^2+c^2}{2ab}}
\end{eqnarray}
となります。
さらに、因数分解
\begin{equation}
p^2-q^2=(p+q)(p-q)
\end{equation}を用います。すると、
\begin{equation}
S = \frac{1}{2} ab \sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2ab} \cdot \frac{(c+a-b)(c-a+b)}{2ab}}
\end{equation}となります。
根号の中の分母のabが約分で消えます。
2つ目以降の括弧の中で、a, b, cを足して引きます。
さらに、1/2を根号の中に押し込んでみます。
\begin{eqnarray}
S &=& \sqrt{\frac{a+b+c}{2} \cdot \frac{a+b+c-2a}{2} \cdot \frac{a+b+c-2b}{2} \cdot \frac{a+b+c-2c}{2}} \\
&=& \sqrt{\frac{a+b+c}{2} \left( \frac{a+b+c}{2} -a \right) \left( \frac{a+b+c}{2} -b \right) \left( \frac{a+b+c}{2} -c \right) }
\end{eqnarray}
ここで、
\begin{equation}
s=\frac{a+b+c}{2}
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{equation}となります。
式の変形を通しでおさらいします。
\begin{eqnarray}
S &=& \frac{1}{2} ah \\
&=& \frac{1}{2} ab \sin C \\
&=& \frac{1}{2} ab \sqrt{1- \cos ^2 C} \\
&=& \frac{1}{2} ab \sqrt{(1 + \cos C)(1 - \cos C)} \\
&=& \frac{1}{2} ab \sqrt{\left( 1 + \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) \left( 1 - \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) } \\
&=& \frac{1}{2} ab \sqrt{\frac{a^2+2ab+b^2-c^2}{2ab} \cdot \frac{-(a^2-2ab+b^2-c^2)}{2ab}} \\
&=& \frac{1}{2} ab \sqrt{\frac{(a+b)^2-c^2}{2ab} \cdot \frac{-(a-b)^2+c^2}{2ab}} \\
&=& \frac{1}{2} ab \sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2ab} \cdot \frac{(c+a-b)(c-a+b)}{2ab}} \\
&=& \sqrt{\frac{a+b+c}{2} \cdot \frac{a+b+c-2a}{2} \cdot \frac{a+b+c-2b}{2} \cdot \frac{a+b+c-2c}{2}} \\
&=& \sqrt{\frac{a+b+c}{2} \left( \frac{a+b+c}{2} -a \right) \left( \frac{a+b+c}{2} -b \right) \left( \frac{a+b+c}{2} -c \right) } \\
&=& \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\
&& \because s=\frac{a+b+c}{2}
\end{eqnarray}
三角形の面積を、3辺の長さで表すことができました。
