京大 2008年 理系 第6問

地球上の北緯60°、東経135°の地点をA、北緯60°、東経75°の地点をBとする。
AからBに向かう2種類の飛行経路を考える。は西に向かって同一緯度で飛ぶ経路とする。は地球の大円に沿った経路のうち、飛行距離の短い方とする。に比べは飛行距離が3%以上短くなることを示せ。ただし、地球は完全な球体であるとし、飛行機は高度0を飛ぶものとする。また、必要であれば、三角関数表を用いよ。

注: 大円とは、球を球の中心を通る平面で切ったとき、その切り口にできる円のことである。

解答例

地球の半径を1とします。北緯60°の緯線のなす円の半径は1/2です。
の長さは、
\begin{equation}
l_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}
\end{equation}です。

次にの長さを求めます。
点A, Bを
\begin{eqnarray}
\mathrm{B} && \left( \frac{1}{2}, \ 0, \ \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \\
\mathrm{A} && \left( \frac{1}{4}, \ \frac{\sqrt{3}}{4}, \ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)
\end{eqnarray}とします。

直線ABの長さを三平方の定理を使って求めます。
三平方の定理 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\mathrm{AB}^2 = \left( \frac{1}{2} -\frac{1}{4} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right)^2 = \frac{1}{16} +\frac{3}{16} = \frac{1}{4}
\end{equation}より、
\begin{equation}
\mathrm{AB} = \frac{1}{2}
\end{equation}を得ます。

次に地球の中心をOとし、
\begin{equation}
\angle \mathrm{AOB} = \theta
\end{equation}とします。
第2余弦定理より、
第2余弦定理 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\mathrm{AB}^2 = \mathrm{OA}^2 +\mathrm{OB}^2 -2\mathrm{OA} \cdot \mathrm{OB} \cos \theta
\end{equation}が成り立ちます。これより
\begin{equation}
\cos \theta = \frac{7}{8}
\end{equation}を得ます。
三角関数表により、
\begin{equation}
28^\circ < \theta < 29\circ
\end{equation}となります。

したがっての長さについて
\begin{equation}
\frac{28}{360} \cdot 2\pi < l_2 < \frac{29}{360} \cdot 2\pi
\end{equation}を得ます。

の差は、
\begin{equation}
l_1 -l_2 > \frac{\pi}{6} -\frac{29}{180} \, \pi = \frac{\pi}{180}
\end{equation}となります。
に対する割合は、
\begin{equation}
\frac{l_1 -l_2}{l_1} > \frac{1}{30} = 0.033\cdots > 0.03
\end{equation}となります。

よって、はに対して3%以上短くなることが示されました

解説

等角航路と大圏航路(大円航路)の問題です。
等角航路は、経線と進行方向がなす角度を一定とする航路です。
大圏航路は、問題文の説明の通りです。
球面上の2点を結ぶ長さは、大圏航路が最短になります。
問題では、が等角航路、が大圏航路です。
ソフトウェアに両者を描かせると、曲がり具合が異なることが分かります。