代表的な角度の三角比を求めていきます。
このページでは、15ºと75ºの三角比を求めてみます。
30ºの半分です。
三角比15ºと75º - 数式で独楽する
では幾何的に求めました。
30°と60°の三角比が分かっていれば、加法定理から求めることもできます。
加法定理・まとめ - 数式で独楽する
15°の三角比
正弦
\begin{eqnarray}
\sin 15^\circ &=& \sin (60^\circ -45^\circ) \\
&=& \sin 60^\circ \cos 45^\circ -\cos 60^\circ \sin 45^\circ \\
&=& \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\
&=& \frac{\sqrt{6} -\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}
余弦
\begin{eqnarray}
\cos 15^\circ &=& \cos (60^\circ -45^\circ) \\
&=& \cos 60^\circ \cos 45^\circ +\sin 60^\circ \sin 45^\circ \\
&=& \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\
&=& \frac{\sqrt{6} +\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}
正接
\begin{eqnarray}
\tan 15^\circ &=& \tan (60^\circ -45^\circ) \\
&=& \frac{\tan 60^\circ -\tan 45^\circ}{1 +\tan 60^\circ \tan 45^\circ} \\
&=& \frac{\sqrt{3} -1}{1 +\sqrt{3} \cdot 1} \\
&=& \frac{\left( \sqrt{3} -1 \right)^2}{\left( \sqrt{3} +1 \right) \left( \sqrt{3} -1 \right)} \\
&=& \frac{4 -2\sqrt{3}}{2} \\
&=& 2 -\sqrt{3}
\end{eqnarray}
75°の三角比
余角の三角比より求めます。
余角の三角比 - 数式で独楽する
正弦
\begin{equation}
\sin 75^\circ = \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} +\sqrt{2}}{4}
\end{equation}
余弦
\begin{equation}
\cos 75^\circ = \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} -\sqrt{2}}{4}
\end{equation}
正接
\begin{eqnarray}
\tan 75^\circ &=& \frac{1}{\tan 15^\circ} \\
&=& \frac{1}{2 -\sqrt{3}} \\
&=& 2 +\sqrt{3}
\end{eqnarray}
