代表的な角度の三角比を求めていきます。
このページでは、22.5ºと67.5ºの三角比を求めてみます。
45ºの半分です。
直角二等辺三角形ABCがあります。
CB上にBA=BDとなるように点Dを定めます。
三角形BADは二等辺三角形です。
したがって、
\begin{equation}
\angle \mathrm{BDA} = \angle \mathrm{BAD} \tag{1}
\end{equation}です。
また、三角形の2内角の和は残りの1外角に等しい*1ので、
\begin{equation}
\angle \mathrm{BDA} + \angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{ABC} = 45^\circ \tag{2}
\end{equation}です。
式(1)と式(2)より、
\begin{equation}
\angle \mathrm{BDA} =22.5^\circ
\end{equation}となります。
図より、
\begin{eqnarray}
\mathrm{DC} &=& \sqrt{2} +1 \\
\mathrm{CA} &=& 1
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\mathrm{AD} &=& \sqrt{\mathrm{DC}^2 + \mathrm{CA}^2} \\
&=& \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2 + 1^2} \\
&=& \sqrt{4+2\sqrt{2} \ }
\end{eqnarray}
となります。二重根号になっていますが、外せなさそうです。
これより、
\begin{equation}
\sin 22.5^\circ =\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{DA}} = \frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2} \ }}
\end{equation}が得られます。
分母に二重根号が来てしまいました。形が簡単にならないか、やってみましょう。
\begin{eqnarray}
\sin 22.5^\circ &=& \frac{\sqrt{4-2\sqrt{2} \ }}{\sqrt{(4+2\sqrt{2})(4-2\sqrt{2})}} \\
&=& \frac{\sqrt{4-2\sqrt{2} \ }}{2\sqrt{2}} \\
&=& \frac{\sqrt{2-\sqrt{2} \ }}{2}
\end{eqnarray}
が得られました。二重根号は今度も外せなさそうです。
次はコサインを求めていきます。
定義通りいくと、
\begin{equation}
\cos 22.5^\circ = \frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{DA}} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{4+2\sqrt{2} \ }}
\end{equation}となります。
ここから先の計算が面倒そうです。別の方法を用いましょう。
\begin{equation}
\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1
\end{equation}です。
\begin{eqnarray}
\cos 22.5^\circ &=& \sqrt{1-\sin^2 22.5^\circ} \\
&=& \sqrt{1-\frac{2-\sqrt{2}}{4}} \\
&=& \frac{\sqrt{2+\sqrt{2} \ }}{2}
\end{eqnarray}
こちらはすんなりといきました。
続いてタンジェントを求めます。
\begin{eqnarray}
\tan 22.5^\circ &=& \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{DC}} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{2}+1} \\
&=& \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} \\
&=& \sqrt{2}-1 \\
\tan 67.5^\circ &=& \frac{1}{\tan 22.5^\circ} = \sqrt{2}+1
\end{eqnarray}
まとめると、次の通りです。
\begin{eqnarray}
\sin 22.5^\circ = \cos 67.5^\circ &=& \frac{\sqrt{2-\sqrt{2} \ }}{2} \\
\cos 22.5^\circ = \sin 67.5^\circ &=& \frac{\sqrt{2+\sqrt{2} \ }}{2} \\
\tan 22.5^\circ &=& \sqrt{2}-1 \\
\tan 67.5^\circ &=& \sqrt{2}+1
\end{eqnarray}
ラジアンで書くと次の通りです。
\begin{eqnarray}
\sin \frac{\pi}{8} = \cos \frac{3}{8} \pi &=& \frac{\sqrt{2-\sqrt{2} \ }}{2} \\
\cos \frac{\pi}{8} = \sin \frac{3}{8} \pi &=& \frac{\sqrt{2+\sqrt{2} \ }}{2} \\
\tan \frac{\pi}{8} &=& \sqrt{2}-1 \\
\tan \frac{3}{8} \pi &=& \sqrt{2}+1
\end{eqnarray}
次のように求めることもできます。
三角比22.5ºと67.5º その2 - 数式で独楽する
*1:三角形の内側にあるので「内角」です。内角の1辺を外側に延ばし、内角と反対側にできる角を「外角」といいます。図では、△BADに着目すると、∠ABDは内角、∠ABCは外角になります。もちろん、 \begin{equation} \angle \mathrm{ABD} + \angle \mathrm{ABC} = 180^\circ \end{equation}内角と外角の和は180ºです。
