代表的な角度の三角比を求めていきます。
このページでは、22.5ºと67.5ºの三角比を求めてみます。
45ºの半分です。
三角比22.5ºと67.5º - 数式で独楽する
では、幾何的に求めました。
45°の三角比が分かっていれば半角の公式より求めることも可能です。
半角の公式 - 数式で独楽する
22.5°の三角比
正弦
\begin{eqnarray}
\sin^2 22.5^\circ &=& \frac{1 -\cos 45^\circ}{2} \\
&=& \cfrac{\ 1 -\cfrac{\sqrt{2}}{2} \ }{2} \\
&=& \frac{2 -\sqrt{2}}{4} \\
\therefore \quad \sin 22.5^\circ &=& \frac{\sqrt{2 -\sqrt{2} \ }}{2}
\end{eqnarray}
余弦
\begin{eqnarray}
\cos^2 22.5^\circ &=& \frac{1 +\cos 45^\circ}{2} \\
&=& \cfrac{\ 1 +\cfrac{\sqrt{2}}{2} \ }{2} \\
&=& \frac{2 +\sqrt{2}}{4} \\
\therefore \quad \cos 22.5^\circ &=& \frac{\sqrt{2 +\sqrt{2} \ }}{2}
\end{eqnarray}
正接
\begin{eqnarray}
\tan 22.5^\circ &=& \frac{\sin 22.5^\circ}{\cos 22.5^\circ} \\
&=& \cfrac{\ \cfrac{\sqrt{2 -\sqrt{2} \ }}{2} \ }{\cfrac{\sqrt{2 +\sqrt{2} \ }}{2}} \\
&=& \sqrt{\frac{2 -\sqrt{2}}{2 +\sqrt{2}}} \\
&=& \frac{2 -\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\
&=& \sqrt{2} -1
\end{eqnarray}
67.5°の三角比
余角の三角比より求めます。
余角の三角比 - 数式で独楽する
正弦
\begin{equation}
\sin 67.5^\circ = \cos 22.5^\circ = \frac{\sqrt{2 +\sqrt{2} \ }}{2}
\end{equation}
余弦
\begin{equation}
\cos 67.5^\circ = \sin 22.5^\circ = \frac{\sqrt{2 -\sqrt{2} \ }}{2}
\end{equation}
正接
\begin{eqnarray}
\tan 67.5^\circ &=& \frac{1}{\tan 22.5^\circ} \\
&=& \frac{1}{\sqrt{2} -1} \\
&=& \sqrt{2} +1
\end{eqnarray}
