代表的な角度の三角比を求めていきます。
このページでは、18ºと72ºの三角比を求めてみます。
三角比18ºと72º - 数式で独楽する
では、二等辺三角形を用いて三角比を求めました。
本稿では、別の求め方を見てみます。36°の三角比が既知であるとします。
72°の余弦と18°の正弦
倍角の公式と余角の三角比を用います。
倍角の公式 - 数式で独楽する
余角の三角比 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\cos 72^\circ = \sin 18^\circ &=& 2\cos^2 36^\circ -1 \\
&=& 2 \left( \frac{\sqrt{5} +1}{4} \right)^2 -1 \\
&=& \frac{6 +2\sqrt{5}}{8} -1 \\
&=& \frac{\sqrt{5} -1}{4}
\end{eqnarray}
18°の余弦と72°の正弦
こちらは半角の公式です。
半角の公式 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\cos^2 18^\circ &=& \frac{\cos 36^\circ +1}{2} \\
&=& \cfrac{\ \cfrac{1 +\sqrt{5}}{4} +1 \ }{2} \\
&=& \frac{5 +\sqrt{5}}{8}
\end{eqnarray}よって
\begin{equation}
\cos 18^\circ = \sin 72^\circ = \frac{\sqrt{10 +2\sqrt{5} \ }}{4}
\end{equation}となります。
正接
\begin{eqnarray}
\tan 18^\circ &=& \frac{\sin 18^\circ}{\cos 18^\circ} \\
&=& \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{10+2\sqrt{5} \ }} \\
&=& \sqrt{\frac{(\sqrt{5}-1)^2 (10-2\sqrt{5})}{(10+2\sqrt{5})(10-2\sqrt{5})}} \\
&=& \sqrt{\frac{(6-2\sqrt{5})(10-2\sqrt{5})}{80}} \\
&=& \sqrt{\frac{80-32\sqrt{5}}{80}} \\
&=& \sqrt{\frac{5-2\sqrt{5}}{5}} \\
&=& \frac{\sqrt{25-10\sqrt{5} \ }}{5} \\
\tan 72^\circ &=& \frac{1}{\tan 18^\circ} \\
&=& \frac{5}{\sqrt{25-10\sqrt{5} \ }} \\
&=& \frac{5\sqrt{25-10\sqrt{5} \ }}{\sqrt{125}} \\
&=& \sqrt{5+2\sqrt{5} \ }
\end{eqnarray}
