三角比15ºと75º

代表的な角度の三角比を求めていきます。
このページでは、15ºと75ºの三角比を求めてみます。
30ºの半分です。

直角二等辺三角形ABCがあります。
CB上にBA=BDとなるように点Dを定めます。
三角形BADは二等辺三角形です。
したがって、
\begin{equation}
\angle \mathrm{BDA} = \angle \mathrm{BAD} \tag{1}
\end{equation}です。
また、三角形の2内角の和は残りの1外角に等しい*1ので、
\begin{equation}
\angle \mathrm{BDA} + \angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{ABC} = 30^\circ \tag{2}
\end{equation}です。
式(1)と式(2)より、
\begin{equation}
\angle \mathrm{BDA} =15^\circ
\end{equation}となります。

図より、
\begin{eqnarray}
\mathrm{DC} &=& 2 + \sqrt{3} \\
\mathrm{CA} &=& 1
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
\mathrm{AD} &=& \sqrt{\mathrm{DC}^2 + \mathrm{CA}^2} \\
&=& \sqrt{(2+\sqrt{3})^2 + 1^2} \\
&=& \sqrt{8+4\sqrt{3} \ } \\
&=& \sqrt{8+2\sqrt{12} \ } \\
&=& \sqrt{6}+\sqrt{2}
\end{eqnarray}
となります。二重根号は外すことができました。*2
二重根号 - 数式で独楽する
これより、
\begin{equation}
\sin 15^\circ =\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{DA}} = \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}
\end{equation}が得られます。
分母を有理化します。
\begin{eqnarray}
\sin 15^\circ &=& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} \\
&=& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}
が得られました。

次はコサインを求めていきます。
定義通りいくと、
\begin{eqnarray}
\cos 15^\circ = \frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{DA}} &=& \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} \\
&=& \frac{(2+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} \\
&=& \frac{2\sqrt{6}-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6-2} \\
&=& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}
となります。

続いてタンジェントを求めます。
\begin{eqnarray}
\tan 15^\circ &=& \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{DC}} \\
&=& \frac{1}{2+\sqrt{3}} \\
&=& 2-\sqrt{3} \\
\tan 75^\circ &=& \frac{1}{\tan 15^\circ} = 2+\sqrt{3}
\end{eqnarray}

まとめると、次の通りです。
\begin{eqnarray}
\sin 15^\circ = \cos 75^\circ &=& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\
\cos 15^\circ = \sin 75^\circ &=& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\
\tan 15^\circ &=& 2-\sqrt{3} \\
\tan 75^\circ &=& 2+\sqrt{3}
\end{eqnarray}
ラジアンで書くと次の通りです。
\begin{eqnarray}
\sin \frac{\pi}{12} = \cos \frac{5}{12} \pi &=& \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\
\cos \frac{\pi}{12} = \sin \frac{5}{12} \pi &=& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\
\tan \frac{\pi}{12} &=& 2-\sqrt{3} \\
\tan \frac{5}{12} \pi &=& 2+\sqrt{3}
\end{eqnarray}

加法定理を用いる方法もあります。
三角比15ºと75º その2 - 数式で独楽する
半角の公式を用いる方法もあります。
三角比15ºと75º その3 - 数式で独楽する

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*1:三角形の内側にあるので「内角」です。内角の1辺を外側に延ばし、内角と反対側にできる角を「外角」といいます。図では、△BADに着目すると、∠ABDは内角、∠ABCは外角になります。もちろん、 \begin{equation} \angle \mathrm{ABD} + \angle \mathrm{ABC} = 180^\circ \end{equation}内角と外角の和は180ºです。

*2:式での場合、 \begin{equation} \sqrt{p+2\sqrt{q} \ }=\sqrt{a}+\sqrt{b} \end{equation}となる、というものです。ただし、a, bは正の数です。 \begin{equation} (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab} \end{equation}なので、両辺の平方根をとって、 \begin{equation} \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab} \ } \end{equation} となります。同様に、 \begin{equation} \sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a+b-2\sqrt{ab} \ } \end{equation}が成り立ちます。この場合はです。