四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDは
を満たしており、0と異なる4つの実数
に対して4点P, Q, R, Sを
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OP}} &=& p \, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \\
\overrightarrow{\mathrm{OQ}} &=& q \, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \\
\overrightarrow{\mathrm{OR}} &=& r \, \overrightarrow{\mathrm{OC}} \\
\overrightarrow{\mathrm{OS}} &=& s \, \overrightarrow{\mathrm{OD}}
\end{eqnarray}により定める。このときP, Q, R, Sが同一平面上にあればが成立することを示せ。
解答例
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OA}} &=& \vec{a} \\
\overrightarrow{\mathrm{OB}} &=& \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{OC}} &=& \vec{c}
\end{eqnarray}とします。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OD}} &=& \vec{a} -\vec{b} +\vec{c} \\
\overrightarrow{\mathrm{OP}} &=& p \, \vec{a} \\
\overrightarrow{\mathrm{OQ}} &=& q \, \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{OR}} &=& r \, \vec{c} \\
\overrightarrow{\mathrm{OS}} &=& s \, \left( \vec{a} -\vec{b} +\vec{c} \right)
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{PQ}} &=& -p \, \vec{a} +q \, \vec{b} \tag{1} \\
\overrightarrow{\mathrm{PR}} &=& -p \, \vec{a} +r \, \vec{c} \tag{2} \\
\overrightarrow{\mathrm{PS}} &=& (s -p) \, \vec{a} -s \,\vec{b} +s \, \vec{c} \tag{3}
\end{eqnarray}となります。
一方、P, Q, R Sは同一平面上にあるので、
実数を用いて
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{PS}} = x \, \overrightarrow{\mathrm{PQ}} +y \, \overrightarrow{\mathrm{PR}} \tag{4}
\end{equation}と表すことができます。
式(1), (2), (4)より、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{PS}} &=& x \left( -p \, \vec{a} +q \, \vec{b} \right) +y \left( -p \, \vec{a} +r \, \vec{c} \right) \\
&=& -p(x +y) \, \vec{a} +qx \, \vec{b} +ry \, \vec{c} \tag{5}
\end{eqnarray}となります。
式(3), (5)より、
\begin{eqnarray}
s -p &=& -p(x +y) \tag{6} \\
-s &=& qx \tag{7} \\
s &=& ry \tag{8}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
式(7), (8)を式(6)に代入します。
\begin{eqnarray}
s -p &=& -p \left( -\frac{s}{q} +\frac{s}{r} \right)\\
s +\frac{ps}{r} &=& \frac{ps}{q} +p
\end{eqnarray}
両辺をで割ると、
\begin{equation}
\frac{1}{p} +\frac{1}{r} = \frac{1}{q} +\frac{1}{s}
\end{equation}を得ます。(証明終わり)
解説
1次独立なベクトルを定めて解答を進めます。
与えられた条件から、同じものを異なる式で表現しています。
