ネイピア数関連の極限・実数編 - 数式で独楽する
では、実数について
\begin{equation}
\lim_{x\to \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x=e \tag{1}
\end{equation}であることを述べました。
本稿では、同じことが負の数の場合でも成り立つのか、
つまり、
\begin{equation}
\lim_{x\to -\infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x=e \tag{2}
\end{equation}が成り立つのかどうかをみていきます。
方針としては、
\begin{equation}
\lim_{x \to -\infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x
\end{equation}を変形していき、式(1)を使える形に持ち込んでいくことになります。
まず、
\begin{equation}
t=-x
\end{equation}と置きます。
\begin{equation}
x \to -\infty
\end{equation}とすれば、
\begin{equation}
t \to \infty
\end{equation}となります。
すると、
\begin{equation}
\lim_{x \to -\infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x = \lim_{t \to \infty} \left( 1-\frac{1}{t} \right)^{-t} \tag{3}
\end{equation}となります。
次に、極限記号の右側を変形していきます。
\begin{eqnarray}
\left( 1-\frac{1}{t} \right)^{-t}
&=& \left( \frac{t-1}{t} \right)^{-t} \\
&=& \left( \frac{t}{t-1} \right)^t \\
&=& \left( 1+\frac{1}{t-1} \right)^t \\
&=& \left( 1+\frac{1}{t-1} \right)^{t-1} \left( 1+\frac{1}{t-1} \right) \tag{4}
\end{eqnarray}
式(1)が使えるようにするために、式(4)では次のように変形しています。
2行目から3行目の変形では、
\begin{equation}
1+\frac{1}{\bigcirc}
\end{equation}の形を作っています。
3行目から4行目の変形では、
\begin{equation}
\left( 1+\frac{1}{\bigcirc} \right)^\bigcirc
\end{equation}の形を作っています。○の部分が同じになるようにするのがミソです。
式(4)において、とすると、
\begin{equation}
1+\frac{1}{t-1} \to 1 \tag{5}
\end{equation}さらに式(1)により、
\begin{equation}
\left( 1+\frac{1}{t-1} \right)^{t-1} \to e \tag{6}
\end{equation}となります。
式(3)~(6)をまとめると、
\begin{eqnarray}
\lim_{x \to -\infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x
&=& \lim_{t \to \infty} \left( 1-\frac{1}{t} \right)^{-t} \\
&=& \lim_{t \to \infty} \left( 1+\frac{1}{t-1} \right)^{t-1} \left( 1+\frac{1}{t-1} \right) \\
&=& e \cdot 1 \\
&=& e \tag{2}
\end{eqnarray}
が得られます。
