ネイピア数関連の極限・実数編

【利息のはなし】○分の1年複利を考える - 数式で独楽する
 ネイピア数 - 数式で独楽する
では、自然数 $n$ に対して
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n=e \tag{1}
\end{equation}であることを述べました。
本稿では、式(1)の関係が実数でも成り立つことをみていきます。

実数 $x$ に対して
\begin{equation}
\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n < \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x < \left( 1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1} \tag{2}
\end{equation}を満たす自然数 $n$ が存在します。
\begin{equation}
\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n < \left( 1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1}
\end{equation}なのは、
ネイピア数 - 数式で独楽する
で述べたように、数列 $\displaystyle \left \{ \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \right \}$ が単調増加であることによります。

さて、式(2)において $n \to \infty$ とすると、式(1)により
\begin{eqnarray}
&\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n &\to &e\\
&\left( 1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1} &\to & e
\end{eqnarray}
となるので、
\begin{equation}
x \to \infty
\end{equation}かつ
\begin{equation}
\left( 1+\frac{1}{x} \right)^x \to e
\end{equation}すなわち、
\begin{equation}
\lim_{x \to \infty} \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x = e
\end{equation}となります。