べき乗の逆数または負のべき乗の微分

べき乗の逆数または負のべき乗の微分
\begin{equation}
\left( \frac{1}{x^n} \right) ' = \left( x^{-n} \right) ' = -\frac{n}{x^{n+1}} = -nx^{-(n+1)}
\end{equation}

べき乗の逆数または負のべき乗は、同じことを表しています。
\begin{equation}
\frac{1}{x^n} = x^{-n}
\end{equation}この形の微分は、逆数の微分
\begin{equation}
\left \{ \frac{1}{f(x)} \right \} ' = - \frac{f'(x)}{\{ f(x) \} ^2}
\end{equation}を用いて導くことができます。
逆数の微分 - 数式で独楽する

\begin{equation}
f(x) = \frac{1}{x^n}
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
\left( \frac{1}{x^n} \right)' = - \frac{nx^{n-1}}{x^{2n}}
\end{equation}となります。

整理すると、
\begin{equation}
\left( \frac{1}{x^n} \right)' = - \frac{n}{x^{n+1}}
\end{equation}が得られます。

改めて、 $n$ を $-n$ と置き換えると、
\begin{equation}
(x^n)' = nx^{n-1}
\end{equation}となります。