べき乗の微分
指数rが実数でも
\begin{equation}
(x^r)' = rx^{r-1}
\end{equation}
べき乗の微分を、対数微分法を用いて求めてみます。
対数微分法 - 数式で独楽する
\begin{equation}
y = x^r, \quad x>0 \tag{1}
\end{equation}の対数をとります。
\begin{equation}
\log y = r\log x \tag{2}
\end{equation}式(2)の両辺を微分します。
\begin{equation}
\frac{y'}{y} =\frac{r}{x} \tag{3}
\end{equation}
ここで、式(1)を考慮すると、式(3)は、
\begin{equation}
y' = rx^{r - 1}
\end{equation}となります。
つまり、
\begin{equation}
(x^r)' = rx^{r - 1}
\end{equation}です。
さて、このようにしてみると、指数には、
べき乗の微分 - 数式で独楽する
べき乗の逆数または負のべき乗の微分 - 数式で独楽する
平方根、n乗根の微分 - 数式で独楽する
べき乗の微分 その2 - 数式で独楽する
のような限定がないことが分かります。
指数は、
ことが分かります
