フーリエ変換
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ f(x) \right] = \hat{f} \! (q) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \, e^{-iqx}\, dx \tag{1}
\end{equation}フーリエ逆変換
\begin{equation}
\mathcal{F}^{-1} \left[ \hat{f} \! (q) \right] = f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \hat{f} \! (q) \, e^{iqx} \, d q \tag{2}
\end{equation}
フーリエ変換の性質には、次のようなものがあります。
線型性
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ a \, f(x) +b \, g(x) \right] = a \, \hat{f} \! (q) +b \, \hat{g}(q)
\end{equation}
フーリエ変換の線型性 - 数式で独楽する
平行移動
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ f(x -x_0) \right] = e^{-iqx_0} \, \hat{f} \! (q)
\end{equation}
平行移動のフーリエ変換 - 数式で独楽する
変調
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ e^{iq_0} \, f(x) \right] = \hat{f} \! (q -q_0)
\end{equation}
フーリエ変換の変調 - 数式で独楽する
変数の定数倍
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ f(ax) \right] = \frac{1}{|a|}\hat{f} \! \left( \frac{q}{a} \right)
\end{equation}
特に
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ f(-x) \right] = \hat{f} \, (q)
\end{equation}
変数の定数倍のフーリエ変換 - 数式で独楽する
複素共軛(共役)
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ \overline{f(x)} \right] = \overline{\hat{f} \! (q)}
\end{equation}
複素共役のフーリエ変換 - 数式で独楽する
畳み込み
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ (f*g)(x) \right] = \hat{f} \! (q) \cdot \hat{g} (q)
\end{equation}
畳み込みのフーリエ変換 - 数式で独楽する
積
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ f(x) \cdot g(x) \right] = \frac{1}{2\pi} \left( \hat{f} *\hat{g} \right) (q)
\end{equation}
積のフーリエ変換 - 数式で独楽する
微分
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ \frac{d}{dx} \, f(x) \right] = iq \, \hat{f} \! (q)
\end{equation}
微分のフーリエ変換 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ \frac{d}{dx} \, f(x) \right] = (iq)^n \, \hat{f} \! (q)
\end{equation}
複数回微分のフーリエ変換 - 数式で独楽する
積分
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ \int_a^x f(t) \, dt \right] = \frac{1}{iq} \, \hat{f} \! (q)
\end{equation}
積分のフーリエ変換 - 数式で独楽する
変数倍
\begin{eqnarray}
\mathcal{F} [x \, f(x)] &=& i \, \frac{d}{d q} \, \hat{f} \! (q) \\
\mathcal{F} \left[ x^n \, f(x) \right] &=& i^n \, \frac{d^n}{d q^n} \, \hat{f} \! (q)
\end{eqnarray}
変数倍のフーリエ変換 - 数式で独楽する
変数倍のフーリエ変換 その2 - 数式で独楽する
変数のべき乗倍のフーリエ変換 - 数式で独楽する
変数のべき乗倍のフーリエ変換 その2 - 数式で独楽する
フーリエ変換のフーリエ変換
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ \hat{f} \! (x) \right] = 2\pi \, f(-q)
\end{equation}
フーリエ変換のフーリエ変換 - 数式で独楽する
