対数関数のマクローリン展開

マクローリン(Maclaurin)展開
\begin{eqnarray}
f(x) &=& f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots \\
&=& \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
\end{eqnarray}

マクローリン展開 - 数式で独楽する
において、
\begin{equation}
f(x) = \log (1+x)
\end{equation}とすると、 $\log(1+x)$ のマクローリン展開が得られます。

\begin{equation}
(\log(1+x))' = \frac{1}{1+x}
\end{equation}であり、
\begin{eqnarray}
\left( \frac{1}{1+x} \right) ' &=& - \frac{1}{(1+x)^2} \\
\left( \frac{1}{(1+x)^2} \right) ' &=& - \frac{2}{(1+x)^3} \\
\left( \frac{1}{(1+x)^3} \right) ' &=& - \frac{3}{(1+x)^4} \\
& \vdots & \\
\left( \frac{1}{(1+x)^n} \right) ' &=& - \frac{n}{(1+x)^{n+1}} \\
& \vdots &
\end{eqnarray}
なので、 $\log(1+x)$ は何回でも微分できます。
対数関数の微分 - 数式で独楽する
 べき乗の微分その3 - 数式で独楽する

したがって、
\begin{equation}
f^{(n)}(x) = (-1)^{n - 1}\frac{(n - 1)!}{(1+x)^{n}}
\end{equation}です。
また、
\begin{eqnarray}
\log 1 &=& 0 \\
\frac{1}{(1+0)^n} &=& 1
\end{eqnarray}
です。

したがって、 $\log(1+x)$ のマクローリン展開は、
\begin{equation}
\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n - 1} \cdot \frac{x^n}{n} + \cdots
\end{equation}となります。

和の記号で書くと、
\begin{equation}
\log (1+x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n - 1} \cdot \frac{x^n}{n}
\end{equation}です。

級数は、 $|x| < 1$ で収束します。