平方根の微分
\begin{eqnarray}
\left( \sqrt{x} \right) ' &=& \frac{1}{2\sqrt{x}} \\
\left( x^{1/2} \right) ' &=& \frac{1}{2} x^{-1/2}
\end{eqnarray}
n乗根の微分
\begin{equation}
\left( \sqrt[n]{x} \right) ' = \left( x^{1/n} \right) ' = \frac{1}{n} x^{1/n -1}
\end{equation}
平方根やn乗根の微分は、逆関数の微分を用いると求められます。
まず、平方根です。
\begin{equation}
y=\sqrt{x}
\end{equation}は、
\begin{equation}
y^2=x
\end{equation}と書けます。
逆関数の微分を用いて、
\begin{equation}
y' = \frac{1}{2y} = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2}x^{-1/2}
\end{equation}となります。
次にn乗根です。
\begin{equation}
y = \sqrt[n]{x}
\end{equation}は、
\begin{equation}
y^n = x
\end{equation}と書けます。
逆関数の微分を用いて、
\begin{equation}
y' = \frac{1}{ny^{n-1}} = \frac{1}{nx^{(n-1)/n}} = \frac{1}{n} x^{1/n-1}
\end{equation}となります。
合成関数の微分を用いても導けます。
\begin{eqnarray}
y^2 &=& x \\
y^n &=& x
\end{eqnarray}
より、
\begin{eqnarray}
2yy' &=& 1 \\
ny^{n-1}y' &=& 1
\end{eqnarray}
となります。
合成関数の微分 - 数式で独楽する
以下、同じです。
つまり、
\begin{equation}
\left( x^q \right) ' = q x^{q-1}
\end{equation}は、qが整数の逆数のときも成り立ちます。
