べき乗の微分
指数が有理数でも
\begin{equation}
(x^q)' = qx^{q-1}
\end{equation}
有理数とは、「整数の比で表すことのできる数」です。
英語の「rational number」は、比「ratio」から来ています。
英語の「rational」は、
- 理性のある
- 正気な
- 合理的な
などの意味があるので、「rational number」は「有理数」となったのでしょう。
有理数は、整数
を用いて
\begin{equation}
q=\frac{m}{n} \tag{0}
\end{equation}と表すことができます。
\begin{equation}
y=x^q \tag{1}
\end{equation}は、
\begin{equation}
y = x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} \tag{2}
\end{equation}ということでもあります。
さて、式(1)の微分を求めていきます。
合成関数の微分を用いると求められます。
合成関数の微分 - 数式で独楽する
式(2)の両辺を乗すると、根号が消えます。
\begin{equation}
y^n = x^m
\end{equation}ここで、合成関数の微分を用います。
\begin{equation}
ny^{n-1}y' = mx^{m - 1}
\end{equation}これより、
\begin{equation}
y' = \frac{m}{n} \frac{x^{m - 1}}{y^{n-1}} \tag{3}
\end{equation}となります。
ここで式(2)を用いると、式(3)は
\begin{eqnarray}
y' &=& \frac{m}{n} \frac{x^{m - 1}}{x^{(n-1)(m/n)}} \\
&=& \frac{m}{n} x^{(m - 1)-(n-1)(m/n)} \tag{4}
\end{eqnarray}
となります。
ここで、式(4)のの指数に注目します。
\begin{eqnarray}
(m - 1) - \frac{(n - 1)m}{n} &=& \frac{mn}{n} - 1 - \frac{mn - m}{n} \\
&=& \frac{m}{n} -1 \\
&=& q - 1 \tag{5}
\end{eqnarray}
最後の行では、式(0)を用いました。
式(4), (5)をまとめると、
\begin{equation}
y' = qx^{q-1}
\end{equation}つまり
\begin{equation}
(x^q)' = qx^{q-1}
\end{equation}が得られます。
